درس نور
المتتاليات الحقيقية
اليوم، الفصل كاملا: « المتتاليات الحقيقية »، السنة الرابعة ثانوي، شعبة الرياضيات.
ما تقوله نور
1. المتتاليات المحدودة والرتابة
اليوم، الفصل كاملا: « المتتاليات الحقيقية »، السنة الرابعة ثانوي، شعبة الرياضيات.
سنرى رتابة المتتاليات وحدودها، ثم المتتاليات المتجاورة ونظريات المقارنة، وأخيرا المتتاليات الراجعة والمعرفة بتكامل.
نبدأ بالقسم الأول: المتتاليات المحدودة والرتابة.
المتتالية هي دالة تربط بكل عدد طبيعي n عددا حقيقيا نرمز له بـ u_n.
نقول ان متتالية u متزايدة اذا كان كل حد اصغر او يساوي الحد الذي يليه.
ونقول انها متناقصة اذا كان كل حد اكبر او يساوي الحد الذي يليه.
متتالية محدودة تعني ان حدودها لا تتجاوز قيمة معينة ولا تنزل تحت قيمة اخرى.
يعني يوجد عدد m وعدد M يحصران جميع حدود المتتالية.
لفهم هذا بصريا، نرسم محورا ونضع عليه نقاط المتتالية الواحدة تلو الاخرى.
هذا يساعدنا نرى ان كانت المتتالية تصعد او تنزل او تبقى بين حدين.
السبب في اهمية الرتابة هو انها تخبرنا عن اتجاه تطور الحدود مع الزمن.
اذا كانت المتتالية متزايدة فهي تقترب من الاعلى، واذا كانت متناقصة فهي تقترب من الاسفل.
اما الحدودية فتمنع المتتالية من الذهاب الى ما لا نهاية في اي اتجاه.
ناخذ الان مثالا من نوع يشبه اسئلة البكالوريا.
نريد ان ندرس رتابة هذه المتتالية المعرفة على مجموعة الاعداد الطبيعية.
نحسب الفرق بين الحد n زائد واحد والحد n.
بعد التعويض والتبسيط، نحصل على كسر بسطه واحد ومقامه موجب دائما.
بما ان n عدد طبيعي، فهذا الكسر موجب تماما في كل الحالات.
اذن الفرق موجب، وهذا يعني ان u_n+1 اكبر من u_n لكل n.
اذن المتتالية u متزايدة تماما على مجموعة الاعداد الطبيعية.
نتحقق ايضا من حدوديتها، فهي اكبر من واحد لكل n.
وهي ايضا اصغر من اثنين، مهما كبرت قيمة n.
فنكتب ان المتتالية محصورة بين واحد واثنين، اي انها محدودة.
نلاحظ ان النقاط على المحور تقترب شيئا فشيئا من القيمة اثنين.
هذا يؤكد ان المتتالية متزايدة ومحدودة من الاعلى في نفس الوقت.
اذن لدراسة رتابة متتالية، نحسب الفرق بين حدين متتاليين ونحدد اشارته.
واذا اردنا اثبات حدوديتها، نبحث عن عددين يحصران جميع حدودها.
هاتان الفكرتان، الرتابة والحدودية، هما اساس كل ما سناتي عليه في هذا الفصل.
هل المتتالية v_n = n² - 10n متزايدة ام متناقصة بداية من n = 6؟
2. المتتاليات المتزايدة والمحدودة من الأعلى
ننتقل الان الى قسم المتتاليات المتزايدة والمحدودة من الاعلى.
هذه حالة خاصة مهمة جدا، حين تكون المتتالية متزايدة وفي نفس الوقت محدودة من الاعلى.
نظرية اساسية تقول ان كل متتالية متزايدة ومحدودة من الاعلى تتقارب نحو عدد حقيقي.
اي ان حدودها تقترب شيئا فشيئا من عدد ثابت ولا تتجاوزه ابدا.
السبب في ذلك هو ان المتتالية تصعد باستمرار لكنها محصورة بسقف لا تتخطاه.
فهي مجبرة على الاستقرار قرب قيمة معينة، تسمى نهايتها.
نرسم هذا الوضع: نقاط تصعد تدريجيا وتقترب من خط افقي من دون ان تلمسه.
هذا الخط الافقي يمثل الحد الاعلى الذي تقترب منه المتتالية بدون تجاوزه.
ناخذ مثالا محددا: متتالية معرفة بـ u_0 يساوي صفر، وu_n+1 يساوي الجذر من u_n زائد اثنين.
نبرهن اولا بالتدريج ان المتتالية محدودة من الاعلى بالعدد اثنين.
ثم ندرس اشارة الفرق u_n+1 ناقص u_n باستعمال خاصية الدالة الجذرية.
نجد ان هذا الفرق موجب دائما، فالمتتالية متزايدة.
اذن المتتالية متزايدة ومحدودة من الاعلى بالعدد اثنين، فهي متقاربة حسب النظرية.
نضع نقاطا على المحور لنرى هذا التقارب التدريجي نحو الحد.
نحسب الحدود الاولى: u_1 يساوي الجذر من اثنين.
ثم u_2 يساوي الجذر من الجذر من اثنين زائد اثنين، وهكذا تتقارب الحدود.
اذن لاثبات تقارب متتالية، يكفي اثبات انها متزايدة وموجودة سقف اعلى لها.
ما قيمة الحد ل للمتتالية u_n+1 يساوي الجذر من u_n زائد اثنين؟
3. المتتاليات المتجاورة
نصل الان الى قسم المتتاليات المتجاورة.
المتتاليات المتجاورة هي زوج من المتتاليات يقترب كل منهما من الاخر تدريجيا.
يعني متتاليتان، واحدة متزايدة والاخرى متناقصة، والفرق بينهما يؤول الى الصفر.
نكتب الشرط الثالث: نهاية الفرق بين v_n وu_n تساوي صفر عندما n يؤول الى اللانهاية.
اذا توفرت هذه الشروط الثلاثة، نقول ان المتتاليتين متجاورتان.
نرسم محورا لنتخيل متتاليتين تقتربان من بعضهما شيئا فشيئا.
المتتالية الاولى u تصعد من الاسفل، والمتتالية الثانية v تنزل من الاعلى.
كلتاهما تتجهان نحو نفس النقطة في الوسط، وهذا هو معنى التجاور.
السبب في اهمية هذا المفهوم هو ان المتتاليتين عندئذ تتقاربان نحو نفس النهاية بالضبط.
فالمسافة بينهما تضيق باستمرار حتى تصل الى الصفر، فتلتقيان في حد واحد مشترك.
ناخذ مثالا من نوع اسئلة البكالوريا على هذا الموضوع.
نبين اولا ان المتتالية u متزايدة، لان كل حد جديد نضيف له عددا موجبا.
ثم نبين ان المتتالية v متناقصة، بعد دراسة اشارة الفرق بين حديها المتتاليين.
اخيرا ندرس نهاية الفرق بين v_n وu_n، وهو يساوي واحد على n ضرب n الفاكتوريال.
هذا المقدار يؤول الى الصفر عندما n يكبر كثيرا، فالشرط الثالث محقق.
اذن المتتاليتان u وv متجاورتان حسب التعريف الذي رايناه.
نتيجة مهمة جدا: اذا كانت متتاليتان متجاورتين، فهما تتقاربان نحو نفس الحد بالضبط.
هذا يعطينا طريقة قوية لاثبات وجود نهاية حتى لو لم نعرف قيمتها بالضبط.
فنحصر النهاية المجهولة بين متتاليتين نعرفهما جيدا، تقتربان منها من الجهتين.
اذن لاثبات ان متتاليتين متجاورتان، نتحقق من الرتابتين ثم من نهاية فرقهما.
وبمجرد اثبات التجاور، نستنتج مباشرة ان المتتاليتين تتقاربان نحو نفس الحد.
اذا كانت u_n متجاورة مع v_n = u_n + 1/n، فما نهاية u_n - v_n؟
4. نظريات المقارنة
ننتقل الان الى نظريات المقارنة.
نظريات المقارنة هي مجموعة نتائج تربط نهاية متتالية بنهاية متتالية اخرى تحصرها.
اي نستعمل متراجحة بين حدود متتاليتين لنستنتج نهاية احداهما من الاخرى.
النظرية الاولى: اذا كان u_n اصغر او يساوي v_n، ونهاية v_n تساوي سالب مالانهاية، فنهاية u_n ايضا سالب مالانهاية.
وبالمثل، اذا كان u_n اكبر او يساوي v_n ونهاية v_n موجبة مالانهاية، فنهاية u_n كذلك.
اهم نظرية هي نظرية المصادرة: اذا كان u_n محصورا بين v_n وw_n، ولهما نفس النهاية، فu_n لها نفس النهاية.
نرسم هذا بصريا: متتالية محصورة بين منحنيين يقتربان من نفس الخط الافقي.
المتتالية v من الاسفل تصعد نحو الحد، وw من الاعلى تنزل نحو نفس الحد.
والمتتالية u محصورة بينهما، فهي مجبرة على الاقتراب من نفس القيمة.
ناخذ مثالا من نوع اسئلة البكالوريا: متتالية u_n تساوي جيب n على n.
نعلم ان جيب n محصور دائما بين سالب واحد وواحد، مهما كانت قيمة n.
نقسم كل الاطراف على n، فنحصل على حصر للمتتالية u_n.
نهاية سالب واحد على n ونهاية واحد على n كلتاهما تساويان صفرا عند اللانهاية.
حسب نظرية المصادرة، نستنتج مباشرة ان نهاية u_n تساوي صفرا ايضا.
اذن نظريات المقارنة تسمح لنا بايجاد نهاية متتالية دون حساب نهايتها مباشرة.
ما نهاية المتتالية w_n = (2 + cos n)/n عند اللانهاية؟
5. المتتاليات الراجعة
نصل الان الى المتتاليات الراجعة.
المتتالية الراجعة هي متتالية يحدد فيها كل حد انطلاقا من الحد الذي قبله.
اي نحتاج الى دالة f وحد اول u_0، ثم نحسب الحدود الواحد تلو الاخر.
فu_1 يساوي f مطبقة على u_0، وu_2 يساوي f مطبقة على u_1، وهكذا.
نرسم منحنى الدالة f ومستقيم المعادلة y يساوي x، لتمثيل هذه المتتالية بيانيا.
نرسم منحنى f: دالة الجذر التربيعي زائد اثنين على سبيل المثال في هذا الرسم.
ونرسم المستقيم y يساوي x، وهو ضروري لبناء ما يسمى شبكة العنكبوت.
السبب في اهمية هذا المستقيم هو انه يحول قيمة u_n على المحور الافقي الى قيمة على المحور العمودي.
فننطلق من u_0، نصعد الى المنحنى لنجد u_1، ثم نعود الى القطر لننقل u_1 الى المحور الافقي.
بتكرار هذه العملية، نرى بصريا كيف تتطور حدود المتتالية خطوة بخطوة.
ناخذ مثالا من نوع اسئلة البكالوريا: المتتالية u_0 يساوي واحد، وu_n+1 يساوي نصف u_n زائد واحد.
نبرهن بالتدريج ان المتتالية محدودة من الاعلى بالعدد اثنين.
ثم ندرس اشارة الفرق u_n+1 ناقص u_n، فنجده موجبا دائما.
اذن المتتالية متزايدة ومحدودة من الاعلى، فهي متقاربة نحو حد ل.
نلاحظ ان الدالة f مستمرة، اي متصلة دون قطع، وهذا شرط اساسي.
فالحد ل يحقق المعادلة ل يساوي نصف ل زائد واحد، لان f مستمرة عند ل.
نحل هذه المعادلة فنجد ان ل يساوي 2.
اذن لدراسة متتالية راجعة، نحدد رتابتها وحدوديتها اولا لنثبت تقاربها.
ثم نستعمل اتصال الدالة f لايجاد معادلة تحقق بها الحد ل.
هذا الحد ل هو نقطة ثابتة للدالة f، اي يحقق ل يساوي f من ل.
اذا كانت u_n+1 = (u_n + 3)/2 وu_n متقاربة نحو ل، فما قيمة ل؟
6. متتاليات معرفة بتكامل
نختم الفصل بقسم متتاليات معرفة بتكامل.
هذه متتاليات يعرف حدها العام بواسطة مساحة محصورة بين منحنى ومحور، محسوبة بتكامل.
اي كل حد u_n هو عدد يساوي مساحة تحت منحنى دالة تعتمد على n.
نرسم مثالا: منحنى الدالة x اس n على مجال من صفر الى واحد.
نلاحظ ان كل منحنى يقترب اكثر فاكثر من المحورين كلما كبرت قيمة n.
المساحة تحت كل منحنى، بين صفر وواحد، تمثل حدا من حدود المتتالية.
السبب في اهمية هذا الحصر هو ان الدالة x اس n محصورة بين صفر وواحد على هذا المجال.
فهذا يسمح باستعمال نظريات المقارنة لايجاد نهاية المتتالية دون حساب التكامل مباشرة.
ناخذ مثالا من نوع اسئلة البكالوريا: المتتالية u_n تساوي تكامل x اس n من صفر الى واحد.
نحسب هذا التكامل مباشرة: دالة اصلية ل x اس n هي x اس n زائد واحد على n زائد واحد.
بالتعويض بين الحدين صفر وواحد، نحصل على واحد على n زائد واحد.
نلاحظ ان هذه المتتالية متناقصة وموجبة، فهي محدودة من الاسفل بالصفر.
ونهاية واحد على n زائد واحد عندما n يؤول الى اللانهاية تساوي صفرا.
اذن لدراسة متتالية معرفة بتكامل، نحسبها مباشرة او نحصرها بين دالتين بسيطتين.
ما نهاية المتتالية v_n = تكامل x اس n على n زائد x من صفر الى واحد؟
بهذا نكون قد انهينا فصل المتتاليات الحقيقية بكل اقسامه الستة.
رايتم الرتابة والحدودية، التجاور، المقارنة، المتتاليات الراجعة، والمتتاليات المعرفة بتكامل.
هذه الادوات اساسية لبقية دروس التحليل في السنة الرابعة ثانوي.