Leçon de Nour
Suites réelles
Aujourd'hui, tout le chapitre « Suites réelles », en quatrième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Suites croissantes et majorées, suites bornées
Aujourd'hui, tout le chapitre « Suites réelles », en quatrième année, section Mathématiques.
On va construire ça petit à petit, avec un exemple à chaque fois, et une question pour toi à la fin de chaque partie.
On commence par les suites croissantes et majorées, et les suites bornées.
Une suite, c'est une liste de nombres rangés dans l'ordre, un pour chaque entier n.
On dit qu'une suite est croissante quand chaque terme est plus grand ou égal au précédent.
On dit qu'une suite est majorée quand tous ses termes restent sous une certaine valeur fixe.
Ce nombre M s'appelle un majorant, c'est-à-dire une barrière que la suite ne dépasse jamais.
Une suite bornée est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire coincée entre deux valeurs fixes.
Dessinons ça sur un repère, avec n en abscisse et les valeurs de la suite en ordonnée.
Imagine une suite qui monte, mais qui ralentit et reste toujours sous la valeur cinq.
La ligne pointillée à cinq est un majorant, une barrière horizontale que la suite n'atteint jamais.
Cette suite est croissante, car elle monte, et majorée, car elle reste sous cinq.
Voici pourquoi une suite croissante et majorée se comporte de façon très particulière.
Elle monte sans arrêt, mais elle ne peut pas dépasser le majorant, donc elle se rapproche d'une limite.
C'est le théorème de la convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge.
De la même façon, une suite décroissante et minorée converge aussi, vers sa limite.
Passons maintenant à un exemple complet, pour bien voir la méthode.
Soit la suite u définie par u zéro égale un, et u indice n plus un égale la moitié de u n, plus un.
D'abord, montrons par récurrence que la suite reste toujours inférieure ou égale à deux.
Pour n égale zéro, u zéro vaut un, qui est bien inférieur ou égal à deux.
On suppose que u n est inférieur ou égal à deux, et on regarde u indice n plus un.
Si u n est inférieur ou égal à deux, alors sa moitié plus un est inférieure ou égale à deux.
Donc u indice n plus un est aussi inférieur ou égal à deux, l'hérédité est vérifiée.
Par récurrence, la suite u est majorée par deux, pour tout entier n.
Montrons maintenant que la suite est croissante, en étudiant le signe de u n plus un moins u n.
Comme u n est inférieur ou égal à deux, la moitié de u n est inférieure ou égale à un.
Donc un moins la moitié de u n est positif ou nul, la suite est croissante.
La suite est croissante et majorée par deux, donc elle converge, d'après le théorème.
On voit sur ce dessin la même suite, qui monte et s'approche doucement de sa limite.
Elle part de un, et grimpe vers deux sans jamais le dépasser.
La ligne à deux reste une barrière que la suite ne franchit jamais.
Retiens bien ceci : croissante et majorée entraîne convergente, c'est le résultat central de cette partie.
Ce théorème ne te dit pas la valeur de la limite, mais garantit qu'elle existe.
C'est très utile quand calculer la limite directement est difficile ou impossible.
Une suite décroissante et minorée : que peux-tu dire d'elle ?
2. Suites adjacentes
Passons maintenant aux suites adjacentes, un deuxième outil pour montrer qu'une suite converge.
Deux suites sont adjacentes quand l'une monte, l'autre descend, et leur écart tend vers zéro.
Autrement dit, les deux suites se rapprochent peu à peu l'une de l'autre, comme deux pinces.
On a aussi toujours u n inférieur ou égal à v n, pour tout entier n.
Dessinons ça : la suite u monte, la suite v descend, elles se resserrent l'une vers l'autre.
Voici la suite u, qui monte doucement.
Et voici la suite v, qui descend doucement, vers la même zone.
Voici pourquoi deux suites adjacentes convergent toujours vers la même limite commune.
La suite u monte mais reste toujours sous v, donc elle est majorée, donc elle converge.
La suite v descend mais reste toujours au-dessus de u, donc elle est minorée, donc elle converge.
Comme leur écart tend vers zéro, les deux limites sont forcément égales.
Faisons un exemple complet pour bien fixer la méthode.
Soit u indice n égale un plus un, plus un demi, jusqu'à un sur n, et v n égale u n plus un sur n.
D'abord, montrons que u est croissante, car on ajoute toujours un terme positif.
Montrons ensuite que v est décroissante, en calculant v n plus un moins v n.
Après simplification, cette différence est négative, donc v est bien décroissante.
Enfin, l'écart entre v et u vaut un sur n, qui tend vers zéro.
Les trois conditions sont réunies : u croît, v décroît, l'écart tend vers zéro.
Donc les deux suites sont adjacentes, et convergent vers une même limite.
On ne connaît pas toujours la valeur exacte de cette limite commune ℓ.
Mais on sait avec certitude qu'elle existe, et qu'elle est encadrée par u n et v n.
Cet encadrement sert souvent à approcher la valeur de ℓ avec une précision choisie.
Retiens la méthode : vérifier la monotonie des deux suites, puis vérifier que l'écart tend vers zéro.
C'est une technique puissante, surtout quand les suites viennent de problèmes concrets ou d'intégrales.
Ce résultat te servira aussi plus tard, pour les suites récurrentes du type u et v combinées.
Dans l'exemple, vers quoi tend la différence entre v_n et u_n ?
3. Suites récurrentes
Passons maintenant aux suites récurrentes, notre troisième notion du chapitre.
Une suite récurrente, c'est une suite où chaque terme se calcule à partir du précédent, par une fonction f.
Autrement dit, tu connais le premier terme, et une règle qui fabrique chaque terme suivant.
Pour étudier une telle suite, on utilise souvent la courbe de f et la droite d'équation y égale x.
Voici la courbe de f, et la droite y égale x, qui sert de miroir.
On part de u zéro sur l'axe, on monte à la courbe, puis on va horizontalement jusqu'à la droite.
Ce va-et-vient dessine les termes successifs de la suite, et montre où elle se dirige.
Voici pourquoi la suite semble se stabiliser vers le point où la courbe croise la droite y égale x.
Ce point fixe vérifie f de ℓ égale ℓ, c'est souvent la limite de la suite.
Si f est croissante, la suite garde le même sens de variation que son point de départ.
Faisons un exemple complet, avec une fonction simple et un calcul de limite.
Soit u zéro égale zéro, et u indice n plus un égale racine carrée de u n plus deux.
Montrons d'abord par récurrence que la suite reste toujours entre zéro et deux.
Pour n égale zéro, u zéro vaut zéro, qui est bien entre zéro et deux.
On suppose u n entre zéro et deux, alors u n plus deux est entre deux et quatre.
La racine carrée étant croissante, u indice n plus un est entre racine de deux et deux.
Donc u indice n plus un reste bien entre zéro et deux, l'hérédité est vérifiée.
Par récurrence, la suite est encadrée entre zéro et deux pour tout entier n.
Montrons maintenant que la suite est croissante, en étudiant le signe de u n plus un moins u n.
On peut montrer que racine de u n plus deux est toujours supérieure ou égale à u n, sur cet intervalle.
La suite est donc croissante et majorée par deux, donc elle converge vers une limite ℓ.
Cette limite ℓ vérifie l'équation du point fixe, racine de ℓ plus deux égale ℓ.
En élevant au carré, on obtient ℓ au carré moins ℓ moins deux égale zéro.
La suite converge donc vers deux, exactement la valeur du point fixe qu'on voyait sur le dessin.
Retiens la méthode : encadrer la suite, montrer sa monotonie, puis résoudre l'équation du point fixe.
Cette démarche revient très souvent dans les suites récurrentes du bac.
Dans une suite récurrente, quelle équation vérifie la limite ℓ si f est continue ?
4. Théorèmes de comparaison
Passons maintenant aux théorèmes de comparaison, pour calculer des limites de suites.
Les théorèmes de comparaison, ça veut dire qu'on compare une suite à une autre pour trouver sa limite.
Premier cas : si u n est inférieure ou égale à v n, et que v n tend vers moins l'infini, alors u n aussi.
Symétriquement, si u n est supérieure ou égale à v n, et v n tend vers plus l'infini, alors u n aussi.
Deuxième cas : le théorème des gendarmes, quand une suite est coincée entre deux autres de même limite.
Dessinons ça : deux suites qui se resserrent vers ℓ, et u n coincée entre elles.
La suite v n monte vers ℓ, la suite w n descend vers ℓ.
La suite u n, prise entre les deux, est forcée de rejoindre la même limite.
Voici pourquoi ça marche : u n n'a pas le choix, elle est écrasée entre deux suites qui se touchent presque.
Si l'écart entre v n et w n tend vers zéro, u n n'a plus d'autre endroit où aller.
Faisons un exemple complet, avec une suite définie par une expression trigonométrique.
Soit u n égale deux plus cosinus de n, le tout divisé par n, pour n supérieur ou égal à un.
On sait que cosinus de n est toujours compris entre moins un et un.
En ajoutant deux partout, on obtient un encadrement de deux plus cosinus de n.
En divisant par n, qui est positif, on garde le sens des inégalités.
Or un sur n et trois sur n tendent tous les deux vers zéro, quand n tend vers plus l'infini.
D'après le théorème des gendarmes, u n est coincée entre deux suites qui tendent vers zéro.
Donc la limite de u n est exactement zéro.
Retiens bien la méthode : encadrer la suite par deux suites de même limite connue.
Cette technique marche très bien avec des suites qui contiennent sinus ou cosinus.
Dans l'exemple, entre quelles deux suites u_n est-elle encadrée ?
5. Suites définies par une intégrale
Terminons par les suites définies par une intégrale, notre dernière notion du chapitre.
Une suite définie par une intégrale, c'est une suite dont chaque terme est l'aire sous une courbe.
Autrement dit, u n change avec n, car les bornes ou la fonction changent avec n.
On étudie souvent cette suite sans calculer l'intégrale, en encadrant directement la fonction.
Dessinons la fonction x puissance n, sur l'intervalle de zéro à un, pour différentes valeurs de n.
Voici la courbe pour n égale un, puis pour n égale trois, qui s'aplatit davantage.
Plus n grandit, plus la courbe reste proche de zéro, et l'aire sous elle diminue.
Voici pourquoi la suite u n, cette aire, tend vers zéro quand n grandit.
Sur zéro et un, x puissance n reste toujours entre zéro et un, et s'écrase vers l'axe.
Faisons un exemple complet, avec cette suite et un encadrement précis.
Soit u n l'intégrale de zéro à un de x puissance n, fois x, sur x plus deux.
Sur l'intervalle de zéro à un, x plus deux est compris entre deux et trois.
Donc un sur x plus deux est compris entre un tiers et un demi.
En multipliant par x puissance n plus un, qui est positif, on garde le sens des inégalités.
On intègre les trois membres entre zéro et un, ce qui conserve l'encadrement.
Les deux bornes de cet encadrement tendent vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
D'après le théorème des gendarmes, la suite u n tend donc vers zéro.
Retiens la méthode : encadrer la fonction sous l'intégrale, puis intégrer l'encadrement entier à entier.
Cette technique évite de calculer l'intégrale exacte, souvent impossible à écrire simplement.
Dans l'exemple, entre quelles deux bornes est encadré u_n ?
Voilà, on a fait tout le chapitre des suites réelles, avec ses cinq grandes idées.
Retiens surtout les deux théorèmes de convergence : croissante et majorée, et les suites adjacentes.
Entraîne-toi avec les deux exercices, ils reprennent exactement l'esprit du bac.