درس نور
الدوال الأصلية
اليوم، الفصل كاملا: « الدوال الأصلية »، السنة الرابعة ثانوي، شعبة الرياضيات.
ما تقوله نور
1. مفهوم الدالة الأصلية
اليوم، الفصل كاملا: « الدوال الأصلية »، السنة الرابعة ثانوي، شعبة الرياضيات.
سندرس معنى الدالة الأصلية، ثم كيف نحسبها للدوال المعروفة، وكيف نحدد واحدة منها بشرط معطى.
نبدأ بمفهوم الدالة الأصلية، وهو أساس هذا الفصل كله.
لنتذكر أولا الاشتقاق، وهو معنا من فصل قابلية الاشتقاق.
الاشتقاق ياخذ دالة f ويعطينا دالة جديدة مشتقتها f prime.
اليوم سنعمل في الاتجاه المعاكس تماما.
ناخذ دالة f، ونبحث عن دالة F مشتقتها تساوي f بالضبط.
هذه الدالة F تسمى دالة أصلية للدالة f.
أي أن مشتقة F تساوي f في كل نقطة من المجال I.
الفصل عنوانه الدوال الأصلية لدوال متصلة، أي دوال لا قطع فيها على مجالها.
نتذكر أن الاتصال معناه أن منحنى الدالة يُرسم دون رفع القلم.
البرنامج يضمن أن كل دالة متصلة على مجال تقبل دالة أصلية على هذا المجال.
هذا يعني أن البحث عن دالة أصلية له معنى دائما، طالما الدالة متصلة.
والآن لنفهم السبب وراء هذا المفهوم من خلال مثال بسيط جدا.
لاحظ أن المشتقة لا تتغير إذا أضفنا عددا ثابتا للدالة.
إذن إذا وجدنا دالة أصلية واحدة، نجد عددا لا نهائيا من الدوال الأصلية الأخرى.
كل هذه الدوال الأصلية تختلف عن بعضها بثابت فقط.
لنأخذ الآن مثالا محلولا كاملا لنرى هذا بوضوح.
نبحث عن دالة F مشتقتها تساوي 2x.
نتذكر أن مشتقة x تربيع تساوي 2x بالضبط.
إذن الدالة F التي تحقق هذا الشرط هي F من x يساوي x تربيع.
لكن يمكننا أيضا أخذ F من x يساوي x تربيع زائد 5.
لأن مشتقة 5 تساوي صفر، فمشتقة G تبقى تساوي 2x.
إذن توجد عائلة كاملة من الدوال الأصلية لنفس الدالة f.
كل عنصر في هذه العائلة يكتب على شكل x تربيع زائد ثابت عشوائي.
هذا بالضبط ما سندرسه في الفقرة القادمة بتفصيل أكبر.
إذن الدالة الأصلية هي دالة مشتقتها تساوي الدالة المعطاة على مجال معين.
ما هي مشتقة الدالة F من x يساوي x تربيع زائد 3؟
2. مجموعة الدوال الأصلية لدالة
ننتقل الآن إلى مجموعة الدوال الأصلية لدالة معينة.
يعني هذا المصطلح كل الدوال الأصلية الممكنة لنفس الدالة f مجتمعة معا.
رأينا في الفقرة السابقة أن هذه الدوال كلها تختلف عن بعضها بثابت.
إذن إذا كانت F دالة أصلية واحدة لـ f على مجال I، فكل الدوال الأصلية تكتب بشكل محدد.
هذا هو المجموعة الكاملة، ولا توجد دالة أصلية أخرى خارج هذا الشكل.
السبب أن دالتين مشتقتاهما متساويتان على مجال تختلفان بثابت فقط.
فإذا كان الفرق بين دالتين مشتقته صفر على مجال، فهذا الفرق دالة ثابتة.
لنأخذ مثالا محلولا لنطبق هذه الفكرة بدقة.
نتذكر أن مشتقة x أس 3 تساوي 3 ضرب x تربيع.
إذن الدالة F من x يساوي x أس 3 دالة أصلية لـ f على ℝ.
إذن مجموعة كل الدوال الأصلية لـ f على ℝ تكتب بالشكل التالي.
كل عدد حقيقي c يعطينا دالة أصلية مختلفة، لكنها كلها بنفس المشتقة.
إذن تعيين دالة أصلية واحدة يكفي لمعرفة كل المجموعة.
اكتب مجموعة الدوال الأصلية للدالة f من x يساوي 2x على ℝ
3. الدوال الأصلية للدوال الاعتيادية
ننتقل الآن إلى حساب الدوال الأصلية للدوال الاعتيادية.
يعني هذا أننا سنبني جدولا جاهزا لأشهر الدوال، بدل البحث في كل مرة.
نبدأ بالدالة الثابتة f من x يساوي a، حيث a عدد حقيقي.
لأن مشتقة ax تساوي a بالضبط، فهذا صحيح دائما.
ثم الدالة f من x يساوي x أس n، حيث n عدد صحيح موجب.
نلاحظ أن الأس يزيد بواحد، ونقسم على نفس هذا الأس الجديد.
وأخيرا الدالة f من x يساوي واحد على x تربيع، على مجال لا يحوي صفر.
هذا الجدول يكفي لحساب دالة أصلية لأي دالة اعتيادية بسيطة.
السبب وراء كل صيغة هو أننا نتحقق بالاشتقاق أن F تعطي f.
نشتق الصيغة فنجد الدالة الأصلية مباشرة، وهذا يؤكد صحة الجدول.
لنحل الآن مثالا كاملا يجمع عدة حدود معا.
نحسب دالة أصلية لكل حد على حدة، ثم نجمعها.
للحد x أس 3، الدالة الأصلية هي x أس 4 على 4.
للحد سالب 2 ضرب x تربيع، الدالة الأصلية هي سالب 2 على 3 ضرب x أس 3.
وللحد الثابت 5، الدالة الأصلية هي 5x.
نجمع كل هذه النتائج، ونضيف الثابت c في النهاية.
فنحصل على الدالة الأصلية الكاملة لـ f على ℝ.
هذا هو الأسلوب العام، نعالج كل حد بالصيغة المناسبة من الجدول.
الجدول والصيغ هي الأداة الأساسية لحساب أي دالة أصلية بسرعة.
ما هي الدالة الأصلية للدالة f من x يساوي x أس 4
4. العمليات على الدوال الأصلية
ننتقل الآن إلى العمليات على الدوال الأصلية.
يعني هذا كيف نحسب دالة أصلية لمجموع دالتين، أو لدالة مضروبة بعدد.
أول عملية هي دالة أصلية لمجموع دالتين، إذا كانت لكل منهما دالة أصلية.
الثانية هي دالة أصلية لعدد مضروب في دالة، نضرب الدالة الأصلية بنفس العدد.
السبب أن مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات، وهذا من فصل قابلية الاشتقاق.
وكذلك مشتقة عدد مضروب في دالة تساوي نفس العدد مضروبا في المشتقة.
هاتان القاعدتان تسمحان لنا بتفكيك أي دالة معقدة إلى حدود بسيطة.
لنحل الآن مثالا كاملا يستعمل القاعدتين معا.
نفصل الدالة إلى حدين، ونحسب دالة أصلية لكل حد بالقاعدتين.
للحد 3 ضرب x تربيع، نأخذ دالة أصلية x أس 3 ونضربها في 3.
للحد 4 على x تربيع، نأخذ دالة أصلية سالب واحد على x ونضربها في 4.
نلاحظ أن هذا الحد يحتاج مجالا لا يحوي صفر، وهذا متوفر هنا.
نجمع الحدين الآن، ونضيف الثابت c في النهاية.
فنحصل على الدالة الأصلية الكاملة لـ f على المجال المعطى.
هذا الأسلوب يصلح لأي دالة تُكتب كمجموع حدود بسيطة مضروبة بأعداد.
نلاحظ أيضا أن هاتين القاعدتين لا تنطبقان على جداء دالتين أو على خارجهما.
فلا توجد قاعدة عامة بسيطة لدالة أصلية لجداء دالتين.
لهذا نفكك دائما الدالة إلى حدود بسيطة قبل البحث عن دالتها الأصلية.
إذن المجموع والضرب في عدد هما العمليتان الأساسيتان على الدوال الأصلية.
ما هي الدالة الأصلية للدالة f من x يساوي 2x زائد 3 على x تربيع، على المجال ]0;+∞[
5. تعيين الدالة الأصلية بشرط ابتدائي
نصل الآن إلى آخر فقرة، تعيين الدالة الأصلية بشرط ابتدائي.
يعني هذا أننا نبحث عن دالة أصلية واحدة محددة، لا عائلة كاملة.
رأينا أن الدوال الأصلية لـ f تكتب F زائد c، حيث c عدد حقيقي.
لتحديد دالة واحدة من بينها، نحتاج معلومة إضافية، مثل قيمة في نقطة.
هذه المعلومة تسمى شرطا ابتدائيا، وهي تعطينا قيمة الدالة الأصلية عند نقطة معينة.
نعوض هذه القيمة في الصيغة العامة، فنحصل على معادلة في c.
نحل هذه المعادلة فنجد قيمة c الوحيدة التي تحقق الشرط.
وبهذا نحصل على دالة أصلية واحدة محددة، لا عائلة كاملة من الدوال.
لنحل الآن مثالا كاملا يوضح هذه الخطوات بدقة.
نبحث أولا عن الدوال الأصلية العامة لـ f بدون شرط.
دالة أصلية لـ 2x هي x تربيع، ودالة أصلية لـ 1 هي x.
فمجموعة الدوال الأصلية لـ f تكتب x تربيع زائد x زائد c.
الآن نستعمل الشرط الابتدائي: G عند الواحد يساوي 4.
نعوض x بواحد في الصيغة العامة، فنحصل على معادلة في c.
نحسب الطرف الأيسر، فنجد أن اثنين زائد c يساوي 4.
إذن c تساوي 2 بالضبط، وهذا يحدد الدالة الأصلية المطلوبة.
هذه هي الدالة الأصلية الوحيدة لـ f التي تحقق الشرط عند الواحد.
هذا الأسلوب يستعمل دائما في مسائل البكالوريا لتعيين دالة أصلية محددة.
الخطوات ثابتة: نجد الصيغة العامة، ثم نعوض الشرط، ثم نحل في c.
جد الدالة الأصلية G للدالة f من x يساوي 2x على ℝ، علما أن G عند الصفر يساوي 5
بهذا نكون قد أنهينا فصل الدوال الأصلية بكل فقراته الخمس.
تذكر دائما: الدالة الأصلية تُبنى من الاشتقاق بالاتجاه المعاكس، والثابت c لا يُنسى أبدا.
تدرب على التمرينين المقترحين لتثبيت هذا الفصل قبل الانتقال إلى التكاملات.