Leçon de Nour
Primitives
Aujourd'hui, tout le chapitre « Primitives », en quatrième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Notion de primitive
Aujourd'hui, tout le chapitre « Primitives », en quatrième année, section Mathématiques.
On va voir ce qu'est une primitive, comment en calculer pour les fonctions usuelles, puis avec les opérations et les formes composées, et enfin comment en choisir une précise.
Commençons par la notion de primitive.
On connaît déjà la dérivée d'une fonction, vue dans un chapitre précédent.
Aujourd'hui, on fait l'inverse : on part d'une fonction et on cherche celle dont elle est la dérivée.
Cette fonction recherchée s'appelle une primitive, c'est-à-dire une fonction dont la dérivée redonne la fonction de départ.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I.
Et si, pour tout x de I, la dérivée de F en x vaut f de x.
On a pu définir cette notion parce que f est continue sur I.
C'est ce qu'on appelle les primitives de fonctions continues, c'est-à-dire que la continuité garantit l'existence d'une primitive.
Voici pourquoi il y en a plusieurs : si F est une primitive de f, F plus une constante aussi.
Donc deux primitives d'une même fonction diffèrent toujours d'une constante.
Regardons un exemple limite tout simple pour bien comprendre cette idée.
Prenons f définie par f de x égale 2x, sur l'intervalle des réels.
On cherche une fonction F dont la dérivée donne exactement 2x.
On sait que la dérivée de x au carré est 2x.
Donc F de x égale x au carré est une primitive de f sur les réels.
Mais x au carré plus 1, ou x au carré moins 5, marchent aussi.
Leur dérivée est toujours 2x, puisque la dérivée d'une constante est nulle.
Toutes ces fonctions sont donc des primitives de f sur l'ensemble des réels.
On écrit l'ensemble de toutes les primitives sous la forme x au carré plus k.
Ce k représente une constante quelconque, qui change selon la primitive choisie.
Visualisons maintenant ces courbes pour voir ce que fait cette constante.
Voici la courbe de x au carré, en bleu.
Voici x au carré plus 1, décalée vers le haut.
Et x au carré moins 1, décalée vers le bas.
Toutes ces courbes se déduisent les unes des autres par une translation verticale.
En chaque point, elles ont exactement la même pente, puisque leur dérivée est la même.
C'est pour ça qu'elles sont toutes solutions du même problème de primitive.
Retenons le résultat essentiel de cette notion de primitive.
Si f est continue sur un intervalle I, elle admet une primitive sur I.
Et si F en est une, alors toutes ses primitives s'écrivent F plus une constante k.
Cette famille de fonctions forme donc tout l'ensemble des primitives de f sur I.
Si F est une primitive de f sur I, quelles sont toutes les autres primitives de f sur I ?
2. Primitives des fonctions usuelles
Passons maintenant au calcul des primitives des fonctions usuelles.
Calculer les primitives des fonctions usuelles, ça veut dire retrouver, pour chaque fonction connue, celle dont elle est la dérivée.
On construit ce tableau en inversant simplement les formules de dérivation déjà apprises.
Commençons par la fonction constante, f de x égale a.
Sa primitive est F de x égale a fois x, plus une constante k.
Prenons ensuite la fonction puissance, f de x égale x puissance n.
Sa primitive est x puissance n plus 1, divisé par n plus 1.
Voici pourquoi : en dérivant ce quotient, l'exposant redescend et simplifie exactement le dénominateur.
Pour la fonction inverse de x au carré, f de x égale un sur x au carré.
Sa primitive est moins un sur x, sur un intervalle qui ne contient pas zéro.
Pour la fonction racine carrée de x, sur les réels strictement positifs.
Sa primitive est deux fois racine de x, plus une constante.
Et pour la forme générale un sur x puissance n, avec n supérieur à un.
Sa primitive garde la même forme que pour la puissance positive, avec l'exposant négatif.
Résolvons maintenant un exemple complet avec ce tableau.
Soit f de x égale 3 x au carré, moins 2x, plus un sur x au carré.
On traite chaque terme séparément, en appliquant la bonne formule du tableau.
Pour 3 x au carré, la primitive est 3 fois x cube sur 3, donc x cube.
Pour moins 2x, la primitive est moins 2 fois x au carré sur 2, donc moins x au carré.
Pour un sur x au carré, la primitive est moins un sur x.
On additionne les trois résultats, et on ajoute la constante k.
Cette fonction F est bien une primitive de f sur l'intervalle des réels strictement positifs.
Vérifions rapidement : la dérivée de F redonne exactement f.
Retenons ce tableau de base, utile pour toutes les fonctions construites à partir de lui.
Chaque fonction usuelle a sa primitive, obtenue en inversant la règle de dérivation.
Une somme de fonctions se primitive terme par terme, comme dans cet exemple.
Quelle est une primitive de f de x égale x puissance 4 ?
3. Opérations sur les primitives
Voyons maintenant les opérations sur les primitives.
Les propriétés et opérations sur les primitives, ça veut dire des règles pour primitiver une somme ou un produit par un nombre.
Ces règles évitent de tout reconstruire à chaque fois à partir de zéro.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I.
Soit F une primitive de f, et G une primitive de g, sur I.
Première règle : une primitive de f plus g est F plus G.
Deuxième règle : une primitive de a fois f, avec a réel, est a fois F.
Voici pourquoi ça marche : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
La dérivée de F plus G donne F prime plus G prime, donc f plus g.
De même, la dérivée de a fois F donne a fois F prime, donc a fois f.
Appliquons ça sur un exemple concret et complet.
Soit f de x égale 5 x au cube, moins 4 fois un sur x au carré.
On sépare f en deux morceaux, 5 fois x cube, et moins 4 fois un sur x au carré.
Une primitive de x cube est x puissance 4 sur 4.
Une primitive de un sur x au carré est moins un sur x.
On applique les deux règles : on multiplie chaque primitive par son coefficient, puis on additionne.
Ce qui donne F de x égale 5 x puissance 4 sur 4, plus 4 sur x, plus k.
Cette fonction F est bien une primitive de f sur les réels strictement positifs.
Retenons bien ces deux règles d'opération sur les primitives.
La primitive d'une somme est la somme des primitives, terme à terme.
Et la primitive d'un produit par une constante reste ce produit par la primitive.
Quelle est une primitive de la fonction 3 fois f, si F est une primitive de f ?
4. Primitives de u'×f(u)
Passons maintenant aux primitives des fonctions composées, de la forme u prime fois f de u.
Ici, u est une fonction dérivable, et on regarde le produit de sa dérivée par une fonction d'elle.
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J.
Premier cas : une primitive de u prime fois u puissance n est u puissance n plus 1 sur n plus 1.
Deuxième cas : une primitive de u prime sur u au carré est moins un sur u.
Troisième cas : une primitive de u prime sur racine de u est deux racine de u.
Voici pourquoi ces formules marchent : c'est la dérivation des fonctions composées, à l'envers.
La dérivée de u puissance n plus 1 est n plus 1 fois u prime fois u puissance n.
En divisant par n plus 1, on retrouve exactement u prime fois u puissance n.
Le point clé, c'est de repérer que u prime est bien présente devant u.
Traitons un exemple complet avec ce premier cas.
Soit f de x égale 2x fois la quantité x au carré plus 1, le tout au cube.
On pose u de x égale x au carré plus 1.
Alors u prime de x égale 2x, exactement ce qui est devant la parenthèse.
Donc f s'écrit bien u prime fois u au cube, avec n égale 3.
On applique la formule : une primitive est u puissance 4 sur 4.
Ce qui donne F de x égale la quantité x au carré plus 1, puissance 4, sur 4, plus k.
Cette fonction F est bien une primitive de f sur l'ensemble des réels.
Passons à un second exemple, avec le troisième cas de racine carrée.
Soit g de x égale x sur racine de x au carré plus 3.
On pose encore u de x égale x au carré plus 3, toujours positive.
Sa dérivée est u prime de x égale 2x.
Mais g a seulement x au numérateur, pas 2x, donc on ajuste avec un demi.
Une primitive de u prime sur racine de u est deux racine de u.
On multiplie par le demi facteur, ce qui donne racine de u, plus k.
Cette fonction G est bien une primitive de g sur l'ensemble des réels.
Retenons bien la méthode pour ces primitives composées.
On repère d'abord u, puis on vérifie que u prime apparaît vraiment devant.
Si un facteur manque, on l'ajuste en multipliant par la constante nécessaire.
Quelle est une primitive de h de x égale 3 x au carré fois la quantité x cube plus 2, au carré ?
5. Ensemble des primitives et condition initiale
Terminons avec l'ensemble des primitives et la condition initiale.
Déterminer l'ensemble des primitives, ça veut dire écrire toutes les primitives possibles d'une fonction sur un intervalle.
Si f est continue sur I, et F une primitive de f, l'ensemble s'écrit F plus k.
Cet ensemble contient une infinité de fonctions, une pour chaque valeur de k.
Souvent, on veut une seule primitive précise, pas toute la famille.
Pour ça, on donne une condition initiale, c'est-à-dire la valeur de la primitive en un point donné.
Cette condition fixe une unique valeur de k, donc une unique primitive.
Voici pourquoi : remplacer x par x zéro dans F plus k donne une équation en k.
Cette équation n'a qu'une seule solution k, donc une seule primitive convient.
Appliquons ça sur un exemple complet.
Soit f de x égale 2x moins 3, sur l'ensemble des réels.
On cherche la primitive F telle que F de 1 égale 4.
D'abord, l'ensemble des primitives de f est x au carré moins 3x plus k.
On remplace x par 1 dans cette expression.
Cette valeur doit être égale à 4, donc k moins 2 égale 4.
Donc k vaut 6.
La primitive cherchée est donc F de x égale x au carré moins 3x plus 6.
Cette fonction est l'unique primitive de f vérifiant F de 1 égale 4.
Retenons bien la démarche pour trouver une primitive précise.
On écrit d'abord l'ensemble des primitives avec k, puis on utilise la condition donnée.
Cette condition détermine k de façon unique, et donc la primitive exacte.
Quelle est la primitive F de f de x égale 2x, telle que F de 0 égale 5 ?
Voilà, tout le chapitre des primitives est maintenant devant toi, du calcul de base jusqu'aux fonctions composées.
Entraîne-toi avec les deux exercices proposés, en repérant bien la forme de chaque fonction avant de primitiver.
Ce chapitre prépare directement celui des intégrales, alors garde ce tableau de primitives bien en tête.