Leçon de Nour
Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal
Aujourd'hui, tout le chapitre « Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal », en Sciences physiques, quatrième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Le circuit RLC forcé et le générateur basse fréquence
Aujourd'hui, tout le chapitre « Oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal », en Sciences physiques, quatrième année, section Mathématiques.
On va construire ce chapitre étape par étape, avec un schéma et un exemple à chaque fois.
On commence par le circuit RLC forcé, puis l'impédance, la résonance, et les deux facteurs qui la caractérisent.
On commence avec le circuit RLC série, branché sur un générateur basse fréquence.
Ce générateur impose une tension sinusoïdale dont on peut régler la fréquence.
On parle alors d'oscillations forcées en régime sinusoïdal.
Autrement dit, le circuit est obligé d'osciller à la fréquence que le générateur impose.
Ce n'est plus le circuit qui choisit sa fréquence, comme en régime libre.
Le circuit RLC série comprend un résistor de résistance R, une bobine d'inductance L, et un condensateur de capacité C.
Tu as déjà étudié chacun de ces dipôles séparément, dans les chapitres précédents.
Ici, on les place tous les trois en série, alimentés par la tension du générateur.
Le courant qui circule dans le circuit est aussi sinusoïdal, à la même fréquence N.
Mais ce courant peut être décalé dans le temps par rapport à la tension.
Ce décalage s'appelle le déphasage, noté φ, entre la tension et le courant.
Voici pourquoi ce déphasage existe.
La bobine retarde le courant par rapport à la tension à ses bornes.
Le condensateur, lui, fait l'inverse : il avance le courant par rapport à sa tension.
Le résistor, quant à lui, ne déphase rien du tout.
Le déphasage global du circuit dépend donc de la fréquence imposée par le générateur.
Prenons un exemple pour fixer les idées.
Un générateur basse fréquence impose une tension de valeur maximale 10 volts, à une fréquence de 50 hertz.
On branche ce générateur aux bornes d'un circuit RLC série.
La tension instantanée s'écrit alors u de t égale 10 fois sinus de 2 pi fois 50 fois t.
Si on observe le courant à l'oscilloscope, il apparaît aussi sinusoïdal, mais décalé.
Ce décalage se lit directement sur l'écran, entre les deux courbes.
On mesure par exemple un décalage temporel de 2 millisecondes entre les deux signaux.
Ce décalage temporel, converti en angle, donne la valeur du déphasage φ.
On retrouve ce calcul en détail dans la section suivante, avec la construction de Fresnel.
Retiens que le circuit RLC forcé impose la même fréquence au courant qu'à la tension.
Seules l'amplitude du courant et le déphasage φ changent avec cette fréquence.
C'est cette dépendance à la fréquence qui va nous intéresser tout au long du chapitre.
Dans un circuit RLC forcé, qu'est-ce qui impose la fréquence du courant ?
2. Impédance électrique et construction de Fresnel
Passons à l'impédance électrique du circuit RLC.
L'impédance électrique, c'est le rapport entre la valeur maximale de la tension et celle du courant.
Autrement dit, l'impédance mesure la capacité du circuit à s'opposer au passage du courant.
Elle se mesure en ohms, comme une résistance, et se note Z.
Pour calculer Z, on utilise un outil graphique appelé la construction de Fresnel.
La construction de Fresnel, c'est une façon de représenter les tensions par des vecteurs tournants.
Autrement dit, chaque tension sinusoïdale devient une flèche, dont la longueur est son amplitude.
L'angle entre deux flèches représente le déphasage entre les deux tensions correspondantes.
Traçons cette construction pour notre circuit RLC série.
Le courant est commun à tout le circuit, donc on le place sur l'axe horizontal.
La tension aux bornes du résistor est en phase avec le courant, donc parallèle à lui.
La tension aux bornes de la bobine est en avance de 90 degrés sur le courant.
La tension aux bornes du condensateur est en retard de 90 degrés sur le courant.
La tension totale du générateur est la somme vectorielle de ces trois tensions.
L'angle entre U_m et I_m est justement le déphasage φ qu'on cherchait tout à l'heure.
À partir de ce diagramme, on démontre que l'impédance s'exprime avec une formule précise.
Z est égal à la racine carrée de R au carré, plus la quantité L oméga moins 1 sur C oméga, au carré.
Ici, oméga est la pulsation du générateur, liée à la fréquence N par oméga égale 2 pi N.
Faisons un exemple numérique complet, comme au bac.
On prend R égal à 100 ohms, L égal à 0,5 henry, et C égal à 10 microfarads.
Le générateur impose une fréquence N de 50 hertz.
On calcule d'abord la pulsation oméga, égale à 2 pi fois 50.
On calcule ensuite L oméga, c'est-à-dire 0,5 fois cette pulsation.
Puis on calcule 1 sur C oméga, avec C égal à 10 puissance moins 5 farad.
La différence entre ces deux termes donne la partie réactive du circuit.
On reporte enfin dans la formule de Z, avec R égal à 100 ohms.
On trouve une impédance d'environ 190 ohms pour ce circuit.
Retiens la formule de l'impédance, et la méthode de la construction de Fresnel pour la retrouver.
Le diagramme de Fresnel visualise directement le déphasage φ entre tension et courant.
C'est cette impédance Z qui relie l'amplitude de la tension à celle du courant.
Sur un diagramme de Fresnel, quel vecteur sert de référence, sur l'axe horizontal ?
3. La résonance d'intensité
Passons à la résonance d'intensité, un phénomène central de ce chapitre.
La résonance d'intensité, c'est le moment où l'intensité du courant devient maximale dans le circuit.
Autrement dit, pour une certaine fréquence du générateur, le courant atteint sa plus grande amplitude possible.
Cette fréquence particulière s'appelle la fréquence de résonance, notée N_0.
On la retrouve en étudiant comment I_m varie quand on fait varier N.
Voici pourquoi cette résonance se produit à une fréquence précise.
L'intensité maximale vaut U_m divisé par Z, d'après la loi vue à la section précédente.
I_m est donc maximal quand Z est minimal, puisque U_m reste fixé par le générateur.
Or Z dépend du terme L oméga moins 1 sur C oméga, élevé au carré.
Ce terme s'annule exactement quand L oméga égale 1 sur C oméga.
Dans ce cas, l'impédance se réduit à Z égale R, sa valeur la plus petite possible.
On en tire la pulsation de résonance, oméga zéro égale un sur racine de L fois C.
Traçons maintenant l'allure de la courbe I_m en fonction de N.
La courbe monte, passe par un sommet à la fréquence N_0, puis redescend.
Ce sommet est le point de résonance, là où le courant est le plus fort.
À la résonance, le circuit se comporte comme s'il n'y avait que le résistor R.
Faisons un exemple numérique complet, comme au bac.
On reprend L égal à 0,5 henry et C égal à 10 microfarads, comme avant.
On calcule oméga zéro, égal à 1 sur racine de 0,5 fois 10 puissance moins 5.
On en déduit la fréquence de résonance N_0, égale à oméga zéro sur 2 pi.
À cette fréquence, si U_m vaut 10 volts et R vaut 100 ohms, l'intensité maximale vaut U_m sur R.
On trouve une intensité maximale de 0,1 ampère, exactement au sommet de la courbe.
C'est cette valeur qui correspond au sommet que l'on a tracé sur le graphe.
Retiens que la résonance d'intensité a lieu quand Z est minimal et égal à R.
La fréquence de résonance ne dépend que de L et de C, jamais de R.
R, lui, change seulement la hauteur et la largeur du pic de résonance.
À la résonance, à quelle valeur l'impédance Z est-elle égale ?
4. Facteur de puissance
Passons au facteur de puissance, qui relie la puissance réelle consommée par le circuit à U_m et I_m.
Le facteur de puissance, c'est le nombre qui dit quelle part de la puissance est vraiment utilisée.
Autrement dit, il compare la puissance moyenne réellement consommée à la puissance maximale apparente du circuit.
On le note cos φ, où φ est le déphasage entre la tension et le courant.
La puissance moyenne consommée par le circuit s'écrit P égale U_m fois I_m sur 2, fois cos φ.
Voici pourquoi ce facteur cos φ apparaît dans la formule.
Seul le résistor R consomme vraiment de l'énergie dans le circuit RLC.
La bobine et le condensateur stockent et restituent l'énergie, sans en consommer en moyenne.
Or cos φ mesure justement la part de la tension qui est en phase avec le courant.
Sur le diagramme de Fresnel, cos φ est le rapport entre U_R et U_m.
On retrouve ainsi que la puissance consommée est liée directement à R, et jamais à L ou C.
Faisons un exemple numérique complet, comme au bac.
On reprend R égal à 100 ohms, et Z égal à environ 190 ohms, trouvé plus tôt.
Le facteur de puissance vaut cos φ égale R sur Z, soit 100 sur 189,7.
On trouve un facteur de puissance d'environ 0,527, sans unité.
Avec U_m égal à 10 volts et I_m égal à U_m sur Z, on calcule la puissance moyenne P.
On obtient P égale 10 fois 0,0527 sur 2, fois 0,527.
La puissance moyenne consommée vaut donc environ 0,139 watt.
Retiens que le facteur de puissance cos φ vaut toujours R sur Z, entre 0 et 1.
Plus cos φ est proche de 1, plus le circuit consomme efficacement l'énergie du générateur.
À la résonance, Z égale R, donc cos φ vaut exactement 1.
Que vaut le facteur de puissance exactement à la résonance ?
5. Facteur de surtension
Passons au facteur de surtension, qui apparaît surtout près de la résonance.
Le facteur de surtension, c'est le nombre qui compare la tension aux bornes de la bobine à la tension totale.
Autrement dit, il montre que U_L ou U_C peuvent devenir bien plus grandes que U_m lui-même.
On le note Q, et on le calcule à la fréquence de résonance N_0.
À la résonance, on démontre que Q s'écrit aussi L oméga zéro sur R.
Voici pourquoi cette surtension peut dépasser la tension du générateur.
À la résonance, U_L et U_C sont opposées et de même amplitude, elles s'annulent dans la somme.
Mais chacune séparément peut être très grande si R est petit devant L oméga zéro.
C'est pour cela que U_m reste modeste, alors que U_L ou U_C peuvent être énormes.
Un facteur Q élevé signifie une résonance très marquée, avec un pic étroit et haut.
Faisons un exemple numérique complet, comme au bac.
On reprend L égal à 0,5 henry, R égal à 100 ohms, et oméga zéro égal à 447,2 radians par seconde.
On calcule Q égale L oméga zéro sur R, soit 0,5 fois 447,2 sur 100.
On trouve un facteur de surtension d'environ 2,24, sans unité.
Avec U_m égal à 10 volts, la tension U_L à la résonance vaut Q fois U_m.
La tension aux bornes de la bobine atteint donc environ 22,4 volts à la résonance.
Cette valeur dépasse largement les 10 volts fournis par le générateur.
C'est bien le phénomène de surtension annoncé par le nom de ce facteur.
Retiens que Q compare la tension aux bornes de L, ou de C, à la tension du générateur.
Un Q grand veut dire un phénomène de résonance très sélectif et très marqué.
Que mesure le facteur de surtension Q à la résonance ?
6. Aspects énergétiques et bilan de puissance
Terminons avec les aspects énergétiques et le bilan de puissance du circuit RLC forcé.
Dans ce circuit, le générateur fournit de l'énergie électrique en permanence.
Une partie de cette énergie est dissipée par effet Joule, uniquement dans le résistor R.
L'autre partie circule entre la bobine et le condensateur, sans jamais être perdue.
La bobine stocke de l'énergie magnétique, le condensateur stocke de l'énergie électrique.
Ces deux énergies se transfèrent sans arrêt, mais leur somme ne fait rien gagner au circuit.
Seule la résistance R consomme vraiment, et transforme l'énergie électrique en chaleur.
Voici pourquoi la puissance moyenne ne dépend que de R, et pas de L ou C.
La puissance moyenne dissipée s'écrit aussi P égale R fois I efficace au carré.
Ici, I est la valeur efficace du courant, liée à I_m par I égale I_m sur racine de 2.
Cette formule confirme que seule R participe au bilan de puissance moyenne du circuit.
Faisons un exemple numérique complet, comme au bac.
On reprend R égal à 100 ohms, et I_m égal à 0,0527 ampère, trouvé plus tôt.
On calcule d'abord I efficace, égal à I_m sur racine de 2.
On calcule ensuite la puissance moyenne, P égale R fois I efficace au carré.
On retrouve bien la même puissance moyenne que dans la section sur le facteur de puissance.
Cela confirme que les deux formules, avec cos φ ou avec I efficace, donnent le même résultat.
Retiens que le générateur fournit de l'énergie, et que seule R la dissipe réellement.
La bobine et le condensateur ne font qu'échanger de l'énergie, sans en consommer en moyenne.
Ce bilan de puissance clôt l'étude complète du circuit RLC forcé en régime sinusoïdal.
Quel est le seul composant du circuit RLC qui dissipe vraiment de l'énergie ?
Voilà, tu as maintenant tout le chapitre des oscillations électriques forcées en régime sinusoïdal.
Retiens surtout la résonance d'intensité, et les deux facteurs qui la décrivent, cos φ et Q.
Entraîne-toi avec les deux exercices, ils reprennent exactement l'esprit des sujets du bac.