درس نور
الدوال العكسية
اليوم، الفصل كاملا: « الدوال العكسية »، السنة الرابعة ثانوي، شعبة الرياضيات.
ما تقوله نور
1. دالة متصلة ورتيبة تماما على مجال
اليوم، الفصل كاملا: « الدوال العكسية »، السنة الرابعة ثانوي، شعبة الرياضيات.
سنتدرج معا من الاتصال والرتابة، الى مبرهنة التفرد، ثم الى الدالة العكسية ومنحناها واشتقاقها.
كل قسم ياخذ تعريفه، فكرته، ثم مثال محلول كامل.
نبدا بالقسم الاول، دالة متصلة ورتيبة تماما على مجال.
الدالة المتصلة هي دالة منحناها يرسم دون رفع القلم عن الورقة.
هذا مفهوم رايناه في فصل الاتصال والنهايات، نذكر به فقط.
اما الرتابة التامة فتعني ان الدالة دائما متزايدة، او دائما متناقصة، على كامل المجال.
يعني لا يمكن ان تتزايد الدالة في جزء من المجال، ثم تتناقص في جزء اخر.
نرسم مثالا لدالة متصلة ومتزايدة تماما على مجال.
لناخذ الدالة f من x الى x تربيع، معرفة على المجال من صفر الى زائد ما لا نهاية.
منحناها يرتفع باستمرار، دون انقطاع ودون توقف ولا نزول.
لو اخترنا نقطتين x1 و x2 في المجال، مع x1 اصغر من x2.
فان صورة x1 اصغر حتما من صورة x2، لان الدالة متزايدة تماما.
هذا الشرط، x1 اصغر من x2 يستلزم صورته اصغر من صورة x2، هو تعريف التزايد التام.
اما مثال الدالة غير الرتيبة، فهي دالة ترتفع ثم تنخفض على نفس المجال.
هنا لا توجد رتابة تامة، لان الدالة تتزايد اولا، ثم تتناقص بعد القمة.
في هذا الفصل، سنهتم فقط بالدوال المتصلة والرتيبة تماما على مجالها.
هذان الشرطان معا، الاتصال والرتابة التامة، هما اساس كل ما ياتي بعدهما.
بدونهما لا يمكن تعريف دالة عكسية بشكل سليم.
اذن تذكر دائما: نتحقق اولا من الاتصال، ثم من الرتابة التامة، على المجال المدروس.
هل الدالة x الى x تكعيب متصلة ورتيبة تماما على ℝ؟
2. مبرهنة القيم المتوسطة ونظرية التفاضل العكسي (مبرهنة التفرد)
ننتقل الان الى القسم الثاني، مبرهنة التفرد.
نسمي هذه النتيجة مبرهنة التفرد، وهي نتيجة من مبرهنة القيم المتوسطة.
اذا كانت الدالة f متصلة ورتيبة تماما على مجال I، فهي تنجز تقابلا من I نحو f(I).
يعني لكل عنصر y في f(I)، يوجد بالضبط عنصر واحد x في I يحقق f(x)=y.
اذن كل معادلة من الشكل f(x)=y لها حل وحيد في المجال I.
اساس هذا هو ان الدالة الرتيبة لا تاخذ نفس القيمة مرتين على نفس المجال.
لو تزايدت الدالة، فكل قيمة x تعطي صورة مختلفة عن القيمة السابقة لها.
لذلك لا يمكن ابدا ان ناخذ نفس القيمة y مرتين، فالحل يكون فريدا.
ناخذ الان مثالا محلولا كاملا، كما ياتي في اسئلة البكالوريا.
نتحقق اولا ان f متصلة على ℝ، لانها كثيرة حدود.
ثم نحسب مشتقتها: f' من x تساوي ثلاثة x تربيع زائد واحد.
هذه المشتقة موجبة تماما دائما، مهما كانت قيمة x.
اذن الدالة f متزايدة تماما على ℝ، وهي متصلة ايضا.
حسب مبرهنة التفرد، f تنجز تقابلا من ℝ نحو f(ℝ).
نحسب النهايتين عند زائد وناقص ما لا نهاية لنحدد f(ℝ).
اذن مجموعة الصور f(ℝ) هي ℝ بكاملها.
وبما ان صفر عنصر من ℝ، فالمعادلة f(x)=0 لها حل وحيد في ℝ.
هذه النتيجة تسمح لنا باثبات وجود الحل دون الحاجة لحسابه فعليا.
اذن مبرهنة التفرد تضمن وحدانية الحل، شرط ان تكون الدالة متصلة ورتيبة تماما.
ما هو عدد حلول المعادلة x^5+x-1=0 في ℝ؟
3. تعريف الدالة العكسية ومجالها
نصل الان الى القسم الثالث، تعريف الدالة العكسية ومجالها.
بما ان f تقابل من I نحو f(I)، يمكننا تعريف دالة جديدة تعاكسها.
نسمي هذه الدالة الجديدة الدالة العكسية، ونرمز لها بالرمز f أس ناقص واحد.
الدالة العكسية f أس ناقص واحد تاخذ كل y من f(I)، وتعيد له العنصر الوحيد x الذي حقق f(x)=y.
هذا ما يسمى نظرية التفاضل العكسي، لكن قبل الاشتقاق، نثبت فقط وجودها وتعريفها.
مجال انطلاق f أس ناقص واحد هو بالضبط مجموعة الصور f(I).
ومجال وصولها هو المجال الاصلي I الذي انطلقنا منه.
اذن تبديل الدور بين x و y هو جوهر فكرة الدالة العكسية.
نحل الان مثالا محلولا كاملا لتوضيح الفكرة عمليا.
الدالة f متصلة ومتزايدة تماما على هذا المجال، فهي تنجز تقابلا.
نحسب f(I): عندما x يساوي ناقص واحد تكون f تساوي صفر.
وعندما x يؤول الى زائد ما لا نهاية، f تؤول هي ايضا الى زائد ما لا نهاية.
اذن مجموعة الصور f(I) هي المجال من صفر الى زائد ما لا نهاية.
اذن f أس ناقص واحد معرفة من المجال صفر الى زائد ما لا نهاية، نحو ناقص واحد الى زائد ما لا نهاية.
نحدد عبارتها: نضع y يساوي f(x)، اي y يساوي الجذر التربيعي لـ x زائد واحد.
نربع الطرفين فنحصل على y تربيع يساوي x زائد واحد، ومنه x يساوي y تربيع ناقص واحد.
اذن عبارة الدالة العكسية هي f أس ناقص واحد من y يساوي y تربيع ناقص واحد.
وبما اننا نعوض y بـ x عادة، نكتب f أس ناقص واحد من x يساوي x تربيع ناقص واحد، على المجال من صفر الى زائد ما لا نهاية.
ما مجال تعريف الدالة العكسية لـ f(x)=x^2 المعرفة على [0,+∞[؟
4. منحنى الدالة العكسية وتناظره مع منحنى f
ننتقل الى القسم الرابع، منحنى الدالة العكسية وعلاقته بمنحنى f.
نتعلم الان كيف نرسم المنحنى الممثل للدالة العكسية، انطلاقا من منحنى f.
فكرة الرسم تعتمد على نقطة اساسية: اذا كانت النقطة x و y على منحنى f.
فان النقطة y و x تكون موجودة على منحنى f أس ناقص واحد.
اذن الاحداثيتان تتبادلان مكانهما بين المنحنيين.
هذا التبادل هو تناظر هندسي حول المستقيم الذي يحمل المعادلة y يساوي x.
فمنحنى f أس ناقص واحد هو صورة منحنى f بتناظر محوري محوره هذا المستقيم.
نرسم الان مثالا محلولا كاملا لنطبق هذه الفكرة بالضبط.
نرسم اولا منحنى f على هذا المجال، وهو منحنى متزايد يمر من اصل المعلم.
نعلم من القسم السابق ان الدالة العكسية هي f أس ناقص واحد من x يساوي الجذر التربيعي لـ x.
نرسم منحناها كنظير منحنى f بالنسبة للمستقيم y يساوي x.
نلاحظ ان النقطة واحد وواحد مشتركة بين المنحنيين، لانها على المستقيم y يساوي x.
ونلاحظ ايضا ان النقطة اثنان واربعة على منحنى f، تقابلها النقطة اربعة واثنان على منحنى f أس ناقص واحد.
فعلا هاتان النقطتان متناظرتان تماما حول المستقيم y يساوي x.
اذن لرسم منحنى الدالة العكسية، نرسم اولا منحنى f، ثم ناخذ نظيره حول المستقيم y يساوي x.
هذه الطريقة تغنينا عن حساب عبارة f أس ناقص واحد كل مرة لرسم منحناها.
اذن التناظر المحوري حول المستقيم y يساوي x هو مفتاح رسم منحنى الدالة العكسية.
ما هو نظير النقطة (3,9) من منحنى f(x)=x^2 على منحنى f أس ناقص واحد؟
5. اشتقاق الدالة العكسية
نصل الى القسم الاخير، اشتقاق الدالة العكسية.
هذا ما تسميه نظرية التفاضل العكسي، اي قاعدة تعطينا مشتقة f أس ناقص واحد انطلاقا من مشتقة f.
نفترض ان f قابلة للاشتقاق على I، وان مشتقتها لا تنعدم ابدا على I.
عندئذ f أس ناقص واحد قابلة للاشتقاق على f(I)، ومشتقتها معطاة بهذه العلاقة.
اي ان مشتقة الدالة العكسية عند y، تساوي واحدا على مشتقة f عند f أس ناقص واحد من y.
السبب في ذلك ان منحنى f أس ناقص واحد هو نظير منحنى f، فالمماسات تتبادل ميلانها بالمقلوب.
اذا كان مماس منحنى f عند نقطة له ميل غير منعدم، فمماس المنحنى النظير له ميل هو مقلوبه.
نحل الان مثالا محلولا كاملا يطبق هذه القاعدة.
الدالة f متصلة ومتزايدة تماما على ℝ، لان مشتقتها ثلاثة x تربيع موجبة او منعدمة فقط عند الصفر.
اذن f تنجز تقابلا من ℝ نحو ℝ، وتقبل دالة عكسية معرفة على ℝ.
نريد حساب مشتقة f أس ناقص واحد عند النقطة y تساوي ثلاثة.
نبحث اولا عن x الذي يحقق f(x) يساوي ثلاثة، اي x تكعيب زائد اثنان يساوي ثلاثة.
اذن f أس ناقص واحد من ثلاثة يساوي واحد.
نحسب الان مشتقة f عند هذه النقطة واحد: ثلاثة ضرب واحد تربيع يساوي ثلاثة.
نطبق القاعدة: مشتقة f أس ناقص واحد عند ثلاثة تساوي واحد على مشتقة f عند واحد.
اي واحد على ثلاثة.
هذه القاعدة مهمة جدا، لانها تعطينا المشتقة دون الحاجة لمعرفة عبارة f أس ناقص واحد كاملة.
يكفي ان نجد النقطة x المرتبطة بـ y، ثم نحسب مشتقة f عندها ونقلبها.
اذن شرط عدم انعدام المشتقة ضروري، والا فالقسمة على صفر غير ممكنة.
ما قيمة (f^{-1})'(0) اذا كانت f(x)=x^3+x وكانت f(0)=0؟
بهذا نكون قد انهينا فصل الدوال العكسية بكامل عناصره.
من التفرد الى العبارة، ثم المنحنى، ووصولا الى الاشتقاق، كل شيء مترابط.
تدرب الان على التمرينين، فهما يلخصان كل ما رايناه اليوم.