Leçon de Nour
Fonctions réciproques
Aujourd'hui, tout le chapitre « Fonctions réciproques », en quatrième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Théorème de la bijection
Aujourd'hui, tout le chapitre « Fonctions réciproques », en quatrième année, section Mathématiques.
On va construire ça pas à pas : d'abord le théorème qui permet de définir une fonction réciproque.
Ensuite sa courbe, sa continuité, sa dérivée, puis un exemple complet du bac.
Passons au théorème de la bijection.
Le théorème de la bijection, c'est-à-dire la règle qui dit quand une fonction a une réciproque.
Il faut une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.
Fonction continue et strictement monotone sur un intervalle, c'est-à-dire sa courbe ne saute jamais, et elle monte toujours, ou descend toujours.
Alors f réalise une bijection de l'intervalle I vers l'intervalle image f de I.
Bijection veut dire que chaque valeur de l'arrivée vient d'un seul antécédent dans I.
Voici pourquoi ça marche : si f monte tout le temps, elle ne repasse jamais par la même valeur.
Donc chaque y de l'arrivée correspond forcément à un seul x du départ.
Si f n'était pas strictement monotone, elle pourrait reprendre deux fois la même valeur.
Regarde cette parabole : elle n'est pas strictement monotone sur tout l'axe des réels.
A et B ont la même image, un, donc cette fonction n'est pas bijective sur tout l'ensemble.
Mais sur l'intervalle zéro plus l'infini, elle redevient strictement croissante.
Là, le théorème s'applique, et elle devient bijective sur cet intervalle restreint.
Passons à un exemple complet, typique du bac.
On prend f définie sur l'intervalle zéro plus l'infini par f de x égale x au carré plus un.
D'abord, on vérifie que f est continue sur cet intervalle.
Ensuite, on calcule la dérivée pour voir le sens de variation.
Pour x positif, deux x est positif ou nul, donc f est croissante.
Elle est même strictement croissante, car la dérivée ne s'annule qu'en un seul point.
Voici sa courbe : elle part de un, et elle monte sans jamais redescendre.
On calcule l'intervalle image : f de zéro vaut un, et la limite en plus l'infini est plus l'infini.
Donc l'image de l'intervalle de départ est l'intervalle un plus l'infini.
f est continue et strictement croissante sur zéro plus l'infini.
Donc, d'après le théorème de la bijection, f réalise une bijection de zéro plus l'infini sur un plus l'infini.
Cela veut dire que f possède une fonction réciproque, bien définie sur un plus l'infini.
C'est exactement cette logique que le bac te demande de rédiger, dans l'ordre.
D'abord la continuité, ensuite la stricte monotonie, puis l'intervalle image, enfin la conclusion de bijection.
Retiens bien ces trois conditions : continue, strictement monotone, sur un intervalle.
Si les trois sont réunies, le théorème te garantit l'existence d'une réciproque unique.
C'est la porte d'entrée de tout ce chapitre sur les fonctions réciproques.
Pourquoi faut-il la stricte monotonie, et pas seulement la monotonie au sens large ?
2. Fonction réciproque et sa courbe
Passons à la fonction réciproque et à sa courbe.
Quand f est bijective de I vers f de I, on peut définir sa fonction réciproque.
On la note f exposant moins un, et elle fait exactement le travail inverse de f.
Si f envoie x vers y, alors f exposant moins un renvoie y vers x.
Attention, f exposant moins un n'est pas un sur f, c'est une autre fonction.
Voici pourquoi la courbe de f exposant moins un a une forme particulière.
Un point a et b sur la courbe de f donne un point b et a sur la courbe de f exposant moins un.
Les deux courbes sont donc symétriques par rapport à la droite d'équation y égale x.
Reprenons notre exemple f de x égale x carré plus un sur zéro plus l'infini.
Sa courbe part du point zéro, un, et monte vers la droite.
La courbe de la réciproque est son symétrique par rapport à la droite y égale x.
Elle part du point un, zéro, et monte doucement vers la droite.
Le point zéro, un devient le point un, zéro : les coordonnées s'échangent exactement.
Tracer la courbe représentative de la réciproque, c'est-à-dire la construire par symétrie, sans même calculer sa formule.
On calcule la réciproque de f de x égale x carré plus un explicitement.
Car x est positif sur l'intervalle de départ, on garde la racine positive.
On renomme la variable x, ce qui donne f exposant moins un de x égale racine de x moins un.
Cette formule correspond bien à la courbe verte que l'on vient de tracer.
Retiens que la courbe de f exposant moins un est toujours le symétrique de celle de f.
Cette symétrie se fait toujours par rapport à la droite d'équation y égale x.
C'est un outil puissant pour visualiser une réciproque sans forcément calculer sa formule.
Par rapport à quelle droite les courbes de f et de sa réciproque sont-elles symétriques ?
3. Continuité et monotonie de la réciproque
Passons à la continuité et à la monotonie de la réciproque.
Si f est continue et strictement monotone sur I, sa réciproque hérite de ces deux propriétés.
La fonction réciproque f exposant moins un est continue sur f de I.
Et elle garde le même sens de variation que f, croissante ou décroissante.
Voici pourquoi ce sens de variation se conserve toujours.
Si f est croissante, un x plus grand donne un y plus grand.
Donc pour la réciproque, un y plus grand redonne forcément un x plus grand.
L'ordre des valeurs ne peut pas s'inverser quand on revient en arrière.
Avec une fonction décroissante, le même raisonnement donne encore une réciproque décroissante.
Reprenons l'exemple de f de x égale x carré plus un, strictement croissante sur zéro plus l'infini.
On a vu que sa réciproque est f exposant moins un de x égale racine de x moins un.
Cette fonction racine est bien continue sur son intervalle de définition un plus l'infini.
Et elle est strictement croissante aussi, exactement comme f l'était.
On retrouve bien les deux propriétés annoncées par le théorème.
Retiens ces deux résultats : la continuité se transmet, et le sens de variation aussi.
Si f monte, f exposant moins un monte aussi, jamais l'inverse.
Ces propriétés te permettent de décrire la réciproque sans refaire tout le calcul.
Si f est strictement décroissante sur I, quel est le sens de variation de sa réciproque ?
4. Dérivée de fonctions réciproques
Passons à la dérivée de fonctions réciproques.
La dérivée de fonctions réciproques, c'est-à-dire la règle qui donne la dérivée de f exposant moins un à partir de celle de f.
Si f est dérivable en un point a, et que sa dérivée en a n'est pas nulle.
Alors f exposant moins un est dérivable au point b égale f de a.
Et sa dérivée vaut un, divisé par f prime de a.
Voici pourquoi cette formule est naturelle, à cause de la symétrie des courbes.
La tangente à la courbe de f exposant moins un est le symétrique de la tangente à f.
Or symétriser une droite par rapport à y égale x inverse sa pente.
Si la pente de f vaut m, la pente de la symétrique vaut un sur m.
C'est exactement ce que dit la formule, avec a et b échangés par la symétrie.
Attention, si f prime de a vaut zéro, la formule ne s'applique pas du tout.
Dans ce cas, la courbe de f exposant moins un a une tangente verticale.
Passons à un exemple complet, dans le style du bac.
On reprend f de x égale x carré plus un, sur zéro plus l'infini.
On veut la dérivée de f exposant moins un au point deux.
On cherche d'abord a tel que f de a égale deux.
On garde a égale un, car a doit être positif sur l'intervalle de départ.
On calcule la dérivée de f : f prime de x égale deux x.
La dérivée de f en un vaut deux, et elle n'est pas nulle.
On applique la formule : la dérivée de f exposant moins un en deux vaut un sur f prime de un.
On vérifie avec la formule explicite, f exposant moins un de x égale racine de x moins un.
En remplaçant x par deux, on retrouve bien un sur deux.
Les deux méthodes donnent exactement le même résultat, c'est rassurant.
Retiens la formule : un sur f prime de a, sans jamais dériver f exposant moins un directement.
C'est très utile quand tu ne connais pas la formule explicite de la réciproque.
Il suffit de connaître a, f de a, et f prime de a.
Que vaut la dérivée de f exposant moins un en b, si f prime de a est nulle ?
5. Exemple complet : étude et réciproque
Passons à un exemple complet : étude et réciproque.
On étudie la fonction f de x égale racine de x moins un, sur l'intervalle un plus l'infini.
Première étape : on montre que f est continue sur cet intervalle.
Deuxième étape : on calcule f prime de x pour connaître le sens de variation.
Cette dérivée est strictement positive pour tout x strictement supérieur à un.
Troisième étape : on calcule l'intervalle image, avec f de un et la limite en plus l'infini.
Donc f réalise une bijection de un plus l'infini vers zéro plus l'infini.
D'après le théorème de la bijection, f admet une fonction réciproque sur zéro plus l'infini.
On calcule maintenant l'expression de cette réciproque, en partant de y égale racine de x moins un.
En renommant la variable, on obtient f exposant moins un de x égale x carré plus un.
On retrouve la fonction du tout premier exemple, c'est cohérent avec ce qu'on a vu.
On trace maintenant les deux courbes dans le même repère.
La courbe bleue est f, elle part du point un, zéro et monte doucement.
La courbe verte est sa réciproque, symétrique par rapport à la droite y égale x.
On calcule enfin la dérivée de f exposant moins un au point un, sans refaire tout le calcul.
On cherche a tel que f de a égale un, donc racine de a moins un égale un.
On calcule f prime de deux, à partir de la formule de f prime.
La dérivée de f exposant moins un en un vaut un divisé par f prime de deux.
On retrouve bien deux, car f exposant moins un de x égale deux x, et deux fois un égale deux.
Cet exemple résume tout le chapitre : bijection, réciproque, courbe, et dérivée.
Retiens la méthode complète : continuité, monotonie, intervalle image, puis bijection et réciproque.
Ensuite, tu peux calculer la réciproque explicitement, ou juste sa dérivée en un point.
Quelle est la relation entre f prime de deux et la dérivée de f exposant moins un en un ?
6. Synthèse et méthode
Passons à la synthèse et à la méthode de tout ce chapitre.
On résume les quatre étapes à suivre pour étudier une fonction réciproque.
Première étape : montrer que f est continue sur l'intervalle I.
Deuxième étape : montrer que f est strictement monotone, souvent avec le signe de f prime.
Troisième étape : calculer l'intervalle image f de I, avec les bornes ou les limites.
Quatrième étape : conclure, grâce au théorème de la bijection, que f admet une réciproque.
Voici pourquoi cette méthode fonctionne toujours dans le même ordre.
Sans continuité et sans stricte monotonie, le théorème ne s'applique pas du tout.
Ensuite, deux outils supplémentaires te servent pour approfondir l'étude.
Et la formule de la dérivée, un sur f prime de a, au point b égale f de a.
Reprenons un exemple rapide pour fixer toute la méthode d'un coup.
g prime de x égale trois x carré, qui est positif ou nul partout.
g est continue et strictement croissante sur l'ensemble des réels tout entier.
Les limites en moins et plus l'infini donnent l'intervalle image, qui est l'ensemble des réels.
Donc g admet une réciproque sur l'ensemble des réels, d'après le théorème de la bijection.
Sa dérivée en zéro ne s'annule pas, donc on peut aussi dériver sa réciproque.
Ici, la dérivée en zéro vaut bien zéro, donc la réciproque n'est pas dérivable en g de zéro.
C'est un piège classique du bac, à repérer avant d'appliquer la formule.
Retiens les quatre étapes, la symétrie des courbes, et la formule de la dérivée.
Avec ça, tu peux traiter n'importe quel exercice de bac sur ce chapitre.
Quelles sont, dans l'ordre, les quatre étapes de la méthode pour une fonction réciproque ?
Voilà, tout le chapitre des fonctions réciproques est maintenant devant toi, du théorème à la dérivée.
Retiens surtout la méthode en quatre étapes, et la formule de la dérivée sans jamais calculer f exposant moins un.
Entraîne-toi avec ces deux exercices, ils reprennent exactement l'esprit du bac.