درس نور
قابلية الاشتقاق
اليوم، الفصل كاملا: « قابلية الاشتقاق »، السنة الرابعة ثانوي، شعبة الرياضيات.
ما تقوله نور
1. قابلية الاشتقاق عند نقطة ومماس المنحنى
اليوم، الفصل كاملا: « قابلية الاشتقاق »، السنة الرابعة ثانوي، شعبة الرياضيات.
سنتعرض اليوم لقابلية الاشتقاق، ومشتقة الدالة المركبة، والمشتقة الثانية، ثم مبرهنة التزايدات المنتهية ومتراجحتها، وأخيرا التقريب التآلفي.
نبدأ بالقسم الأول: قابلية الاشتقاق عند نقطة، ومماس المنحنى عند تلك النقطة.
لتكن دالة f معرفة على مجال يحتوي على نقطة x0.
نقول ان f قابلة للاشتقاق عند x0 اذا كانت نسبة التزايد لها نهاية منتهية.
هذه النهاية، اذا وجدت، تسمى عدد مشتق f عند x0، ونرمز لها بـ f'(x0).
بمعنى اخر، نسبة التزايد هي ميل الوتر بين نقطتين من المنحنى، تقترب من ميل ثابت.
نرسم منحنى f، ونثبت نقطة M0 عند x0.
لتكن x0 تساوي 2، فالنقطة M0 احداثياها 2 و f(2).
ناخذ نقطة M متحركة على المنحنى، عند الفاصلة x.
الوتر M0M هو المستقيم الذي يصل بين هاتين النقطتين.
عندما تقترب x من x0، تقترب M من M0 على المنحنى.
وميل الوتر يقترب هو الاخر من عدد ثابت، هو ميل المماس.
هذا الميل الثابت هو بالضبط العدد المشتق f'(x0).
فاذا كانت f قابلة للاشتقاق عند x0، فلمنحناها مماس عند النقطة ذات الفاصلة x0.
معادلة هذا المماس تكتب بدلالة f(x0) و f'(x0).
اذا لم تكن نسبة التزايد نهايتها منتهية، فـ f غير قابلة للاشتقاق عند x0.
في هذه الحالة، قد يكون للمنحنى نصف مماس، او نقطة زاوية.
نأخذ الان مثالا محلولا، كما يرد في امتحانات البكالوريا.
لتكن الدالة f المعرفة بـ f(x) يساوي الجذر التربيعي لـ x، ندرس قابلية اشتقاقها عند الصفر.
نكتب نسبة التزايد بين x و الصفر.
عندما يقترب x من الصفر بقيم موجبة، فان واحد على جذر x يصبح كبيرا جدا.
اذن نهاية نسبة التزايد هي زائد ما لا نهاية، وهي نهاية غير منتهية.
اذن الدالة جذر x غير قابلة للاشتقاق عند الصفر.
لكن منحناها يقبل نصف مماس شاقولي عند تلك النقطة.
هذا نصف المماس هو المستقيم ذو المعادلة x يساوي صفر.
نلخص: قابلية الاشتقاق عند نقطة تعني وجود نهاية منتهية لنسبة التزايد عندها.
هذه النهاية تعطينا ميل المماس عند تلك النقطة بالضبط.
وعندما تكون النهاية غير منتهية، يكون للمنحنى نصف مماس شاقولي فقط.
هل الدالة x مقابل القيمة المطلقة لـ x قابلة للاشتقاق عند الصفر؟
2. الدالة المشتقة ومشتقة دالة مركبة
ننتقل الان الى القسم الثاني: الدالة المشتقة، ومشتقة دالة مركبة.
اذا كانت f قابلة للاشتقاق عند كل نقطة من مجال D، نقول انها قابلة للاشتقاق على D.
عندئذ نعرف دالة جديدة، تسمى الدالة المشتقة، ترفق بكل x العدد المشتق f'(x).
نتذكر من دروس سابقة مشتقات الدوال الاساسية، مثل x تربيع و جذر x.
اليوم نضيف مشتقة دالة مركبة، وهي دالة تنتج من تركيب دالتين فوق بعضهما.
اي اننا نطبق اولا f على x، ثم نطبق g على النتيجة.
اذا كانت f قابلة للاشتقاق عند x0، و g قابلة للاشتقاق عند f(x0)، فالمركبة قابلة للاشتقاق.
هذه القاعدة تقول ان مشتقة المركبة تساوي مشتقة الداخلية مضروبة في مشتقة الخارجية مطبقة على الداخلية.
من هذه القاعدة، نستنتج صيغة مفيدة جدا: مشتقة الجذر التربيعي لدالة u.
وكذلك مشتقة u مرفوعة للاس n، حيث n عدد صحيح.
هذه الصيغ تشترط ان تكون u قابلة للاشتقاق، وان يكون مجالها مناسبا لكل عملية.
ناخذ الان مثالا محلولا لتطبيق هذه القاعدة.
لتكن الدالة f المعرفة بـ f(x) يساوي الجذر التربيعي لـ x تربيع زائد واحد.
نضع u تساوي x تربيع زائد واحد، فتصبح f تساوي جذر u.
مشتقة u هي اثنان x، وهي معرفة على كل الاعداد الحقيقية.
نطبق الصيغة: مشتقة f تساوي u على اثنين جذر u.
نبسط الكتابة، فتصبح f'(x) تساوي x على جذر x تربيع زائد واحد.
هذا المقام لا ينعدم ابدا، لان x تربيع زائد واحد اكبر من صفر دائما.
اذن f قابلة للاشتقاق على مجموعة الاعداد الحقيقية كلها.
نلخص: الدالة المشتقة ترفق بكل نقطة العدد المشتق فيها.
ومشتقة دالة مركبة تحسب بضرب مشتقة الداخلية في مشتقة الخارجية مطبقة على الداخلية.
هذه القاعدة تعطينا ايضا صيغا جاهزة لمشتقة الجذر ومشتقة القوة.
ما هي مشتقة الدالة x مقابل جذر 3x زائد واحد؟
3. المشتقة الثانية ونقطة الانعطاف
نصل الان الى القسم الثالث: المشتقة الثانية، ونقطة الانعطاف.
اذا كانت الدالة المشتقة f' نفسها قابلة للاشتقاق، نشتقها مرة اخرى.
نتيجة هذا الاشتقاق الثاني تسمى الدالة المشتقة الثانية، اي مشتقة المشتقة.
نرمز لها بـ f'' ، ونحسبها كما نحسب اي مشتقة اعتيادية.
اشارة المشتقة الثانية تخبرنا عن شكل تقعر المنحنى.
عندما تكون f'' موجبة، يكون المنحنى محدبا نحو الاعلى، مثل القطع المكافئ x تربيع.
وعندما تكون f'' سالبة، يكون المنحنى محدبا نحو الاسفل، اي مقعرا.
النقطة التي يغير عندها المنحنى اتجاه تقعره تسمى نقطة انعطاف.
اي انها نقطة تنتقل عندها f'' من الموجب الى السالب، او العكس.
عند نقطة الانعطاف، تنعدم المشتقة الثانية وتغير اشارتها.
ناخذ مثالا محلولا: ندرس تقعر الدالة f(x) يساوي x تكعيب ناقص ثلاثة x.
نحسب المشتقة الاولى، ثم المشتقة الثانية.
المشتقة الثانية تنعدم عند x يساوي صفر، وتتغير اشارتها هناك.
اذن المنحنى له نقطة انعطاف عند الفاصلة صفر، احداثيها f(0).
نلخص: المشتقة الثانية تدرس تقعر المنحنى، وتعطينا نقطة الانعطاف عند تغير اشارتها.
عند اي قيمة لـ x توجد نقطة انعطاف لمنحنى الدالة f(x) يساوي x تكعيب؟
4. مبرهنة التزايدات المنتهية
ننتقل الى القسم الرابع: مبرهنة التزايدات المنتهية.
هذه مبرهنة تربط بين تغير قيم دالة على مجال، ومشتقتها داخل ذلك المجال.
لتكن f دالة متصلة على المجال [a ; b]، وقابلة للاشتقاق على ]a ; b[.
تنص المبرهنة على وجود عدد c بين a و b يحقق صيغة خاصة.
اي ان مشتقة f عند نقطة ما بالضبط تساوي ميل الوتر بين a و b.
نرسم المنحنى لنفهم هذا جيدا.
نأخذ منحنى f بين النقطتين A و B، عند الفاصلتين a و b.
الوتر AB هو المستقيم الواصل بين هاتين النقطتين.
المبرهنة تقول ان هناك على الاقل نقطة من المنحنى، مماسها موازٍ لهذا الوتر.
اي ان ميل المماس عند C يساوي بالضبط ميل الوتر AB.
هذا منطقي بصريا، لان المنحنى يصعد ثم ينزل بين A و B، فلا بد ان يتوازى مماسه مع الوتر عند نقطة ما.
ناخذ الان مثالا محلولا لتطبيق هذه المبرهنة.
لتكن f المعرفة بـ f(x) يساوي x تربيع، على المجال [1 ; 3].
f متصلة وقابلة للاشتقاق على كل الاعداد الحقيقية، فالفرضيات محققة.
نحسب ميل الوتر: f(3) ناقص f(1) على 3 ناقص 1.
اذن نبحث عن c يحقق f'(c) يساوي هذه القيمة، اي اثنان c يساوي اربعة.
نتحقق ان c يساوي اثنين ينتمي فعلا الى المجال المفتوح ]1 ; 3[.
اذن المبرهنة محققة، ووجدنا العدد c الذي تنص عليه.
نلخص: مبرهنة التزايدات المنتهية تضمن وجود نقطة مماسها موازٍ لوتر المنحنى.
هذا العدد c موجود دائما عندما تتحقق فرضيتا الاتصال وقابلية الاشتقاق.
ما هي فرضيتا مبرهنة التزايدات المنتهية اللتان يجب التحقق منهما اولا؟
5. متراجحة التزايدات المنتهية
نصل الى القسم الخامس: متراجحة التزايدات المنتهية.
هذه نتيجة عملية جدا، تستعمل بدل المبرهنة السابقة عندما لا نحتاج معرفة قيمة c.
اي اننا نحصر قيمة f'(x) بين عددين، بدل حساب c بدقة.
لتكن f قابلة للاشتقاق على [a ; b]، وليكن m و M عددين.
اذا كانت مشتقة f محصورة بين m و M على كامل المجال.
فان الفرق f(b) ناقص f(a) محصور بدوره بين m في (b ناقص a) و M في (b ناقص a).
هذه المتراجحة تاتي مباشرة من مبرهنة التزايدات المنتهية التي رايناها قبل قليل.
فبدل البحث عن c بالضبط، نكتفي بحصر مشتقتها لنحصل على حصر للفرق.
ناخذ الان مثالا محلولا لتطبيق هذه المتراجحة.
لتكن f المعرفة بـ f(x) يساوي جذر x، على المجال [4 ; 9].
نحسب مشتقتها، وهي واحد على اثنين جذر x.
على المجال [4 ; 9]، جذر x محصور بين جذر 4 و جذر 9.
اذن f'(x) محصورة بين واحد على ستة، وواحد على اربعة.
نطبق المتراجحة بين 4 و 9، فنجد حصرا للفرق f(9) ناقص f(4).
اي ان الفرق محصور بين خمسة اسداس، وخمسة ارباع.
نلخص: متراجحة التزايدات المنتهية تحصر تغير الدالة باستعمال حصر لمشتقتها، دون الحاجة الى c.
اذا كانت f'(x) محصورة بين 2 و 3 على [0 ; 1]، بماذا يكون f(1) ناقص f(0) محصورا؟
6. المماس التقريبي (التقريب التآلفي)
نصل الى القسم الاخير: التقريب التآلفي، باستعمال مماس المنحنى.
فكرة هذا التقريب هي استبدال منحنى f، قرب نقطة معينة، بمماسه عندها.
اي اننا نقرب قيم f بقيم الدالة التآلفية التي يمثلها المماس، بدل الحساب الدقيق.
هذا التقريب يكون جيدا فقط عندما تكون x قريبة جدا من x0.
نرسم منحنى f، ومماسه عند نقطة x0.
عند x0 يساوي 3، المنحنى يمر بالنقطة ذات الاحداثيين 3 و f(3).
المماس عند هذه النقطة يبقى قريبا جدا من المنحنى، طالما بقينا بجانب x0.
فكلما ابتعدنا عن x0، كلما ابتعد المماس عن المنحنى الحقيقي، والتقريب يفقد دقته.
ناخذ الان مثالا محلولا، كما يرد في امتحانات البكالوريا.
نريد تقريب جذر 8.98 قيما بدلالة الدالة f(x) يساوي جذر x، عند x0 يساوي تسعة.
نحسب f(9) ومشتقتها عند تسعة.
نطبق صيغة التقريب التآلفي عند النقطة x0 يساوي تسعة.
نعوض x بالقيمة 8.98، القريبة جدا من تسعة.
النتيجة التقريبية هي 2,9967.
هذا التقريب قريب جدا من القيمة الحقيقية، لان 8.98 قريبة من تسعة.
نلخص: التقريب التآلفي يستبدل منحنى f قرب نقطة بمماسه عندها، وهذا يسهل الحساب.
كلما اقتربت x من x0، كان هذا التقريب اكثر دقة.
قرب جذر 4.02 باستعمال الدالة f(x) يساوي جذر x عند x0 يساوي اربعة؟
بهذا نكون قد اتممنا فصل قابلية الاشتقاق كاملا، من المماس عند نقطة الى التقريب التآلفي.
راجع الصيغ والامثلة جيدا، فهي اساس كل تمارين البكالوريا في هذا الفصل.