Leçon de Nour
Dérivabilité
Aujourd'hui, tout le chapitre « Dérivabilité », en quatrième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Dérivabilité en un point, nombre dérivé
Aujourd'hui, tout le chapitre « Dérivabilité », en quatrième année, section Mathématiques.
On va construire ce chapitre étape par étape, avec un exemple travaillé à chaque fois.
On commence par la dérivabilité en un point, puis on avance jusqu'à l'approximation affine.
Commençons par la dérivabilité en un point.
On prend une fonction f, et un point a dans son ensemble de définition.
f est dérivable en a quand le taux d'accroissement a une limite finie quand x tend vers a.
Ce taux d'accroissement, c'est la pente de la droite qui relie le point a au point x.
Ce nombre l, cette limite, s'appelle le nombre dérivé de f en a, noté f prime de a.
Voici pourquoi cette idée a un sens géométrique très clair.
Quand x se rapproche de a, la droite qui joint A et M pivote peu à peu.
À la limite, cette droite devient la tangente à la courbe au point A.
La pente de cette tangente est justement le nombre dérivé f prime de a.
Si cette limite n'existe pas, ou si elle est infinie, f n'est pas dérivable en a.
Faisons un exemple pour bien fixer la méthode.
On étudie la dérivabilité de f de x égale x carré plus 3x, au point a égale 2.
On écrit le taux d'accroissement entre x et 2.
f de x moins f de 2, ça fait x carré plus 3x, moins 4 moins 6, soit 10.
On factorise ce numérateur par x moins 2.
Le taux d'accroissement devient x moins 2, fois x plus 5, sur x moins 2.
On simplifie par x moins 2, car x est différent de 2.
Il reste juste x plus 5, et cette expression a une limite quand x tend vers 2.
Cette limite vaut 7, donc f est dérivable en 2.
Le nombre dérivé de f en 2 vaut donc 7.
Reprenons cette fonction pour voir l'équation de sa tangente en ce point.
On a f de 2 qui vaut 4 plus 6, soit 10.
La tangente en 2 a pour équation y égale 7 fois x moins 2, plus 10.
Cette droite touche la courbe en ce point, avec la même pente que la courbe.
Retiens bien cette méthode en trois étapes pour tout exercice de ce type.
D'abord on écrit le taux d'accroissement, ensuite on le simplifie, puis on calcule sa limite.
Si la limite est un nombre fini, f est dérivable, et ce nombre est f prime de a.
C'est cette idée qui ouvre tout le chapitre sur la dérivabilité.
Pour f(x) = x² − x et a = 1, quelle est la valeur du nombre dérivé f'(1) ?
2. Dérivée seconde et point d'inflexion
Passons à la dérivée seconde et au point d'inflexion.
La dérivée seconde, c'est la dérivée de la dérivée, notée f seconde.
On la calcule en dérivant une première fois, puis en dérivant encore une fois le résultat.
Elle renseigne sur la courbure de la courbe, pas seulement sur sa pente.
Un point d'inflexion, c'est un point où la courbe change de sens de courbure.
Autrement dit, la courbe passe de convexe à concave, ou l'inverse, en ce point précis.
En ce point, la dérivée seconde s'annule et change de signe.
Voici pourquoi ce signe compte autant que son annulation.
Si f seconde est positive, la courbe est convexe, elle est au-dessus de ses tangentes.
Si f seconde est négative, la courbe est concave, elle est en dessous de ses tangentes.
Un simple changement de signe, sans annulation nette, ne donne pas toujours une inflexion.
Prenons un exemple pour appliquer cette méthode.
On cherche les points d'inflexion de f de x égale x cube moins 3x.
On calcule d'abord la dérivée première, f prime de x.
On dérive encore une fois pour obtenir la dérivée seconde, f seconde de x.
On étudie le signe de 6x : il est négatif avant 0, positif après.
La dérivée seconde s'annule en x égale 0, et change bien de signe à cet endroit.
Le point d'abscisse 0 est donc un point d'inflexion de la courbe.
On calcule f de 0, qui vaut 0, donc le point est l'origine du repère.
Retiens cette méthode en deux dérivations successives, puis une étude de signe.
Un point d'inflexion exige que la dérivée seconde s'annule et change de signe autour de lui.
Pour g(x) = x³ − 6x², en quel point la courbe admet-elle un point d'inflexion ?
3. Dérivée d'une fonction composée
Passons à la dérivée d'une fonction composée.
Une fonction composée, c'est une fonction qu'on obtient en enchaînant deux fonctions, l'une après l'autre.
Par exemple, on applique d'abord u, puis on applique g au résultat.
Si u est dérivable en x, et g dérivable en u de x, alors g rond u est dérivable en x.
On dérive d'abord la fonction intérieure u, puis on multiplie par la dérivée de g, évaluée en u de x.
Voici pourquoi cette règle fonctionne comme une chaîne.
Un petit changement de x entraîne un petit changement de u de x, proportionnel à u prime.
Ce petit changement de u de x entraîne à son tour un changement de g, proportionnel à g prime.
En enchaînant les deux proportions, on multiplie les deux dérivées, celle de u et celle de g.
Un cas particulier très utile concerne les puissances d'une fonction.
Faisons un exemple complet pour bien voir la méthode.
On veut dériver f de x égale 2x carré plus 1, le tout au cube.
Ici, la fonction intérieure u de x vaut 2x carré plus 1.
La fonction extérieure est g de t égale t au cube, de dérivée 3 fois t au carré.
On applique la formule : f prime égale u prime, fois 3, fois u au carré.
On remplace u prime par 4x, et u de x par 2x carré plus 1.
On simplifie en multipliant 4 par 3, ce qui donne 12.
C'est la dérivée de f, obtenue sans développer le cube.
Reprenons cette même fonction pour vérifier la valeur en un point précis.
On calcule f prime de 1, en remplaçant x par 1 dans l'expression trouvée.
Cela donne 12 fois 9, soit 108.
Retiens bien cette méthode : identifier u et g, dériver chacune, puis les multiplier ensemble.
Cette règle de composition s'utilise partout, avec des racines, des puissances, ou des fonctions trigonométriques.
Elle complète ce que tu sais déjà sur les dérivées des fonctions usuelles.
Quelle est la dérivée de la fonction h(x) = (3x − 1)⁴ ?
4. Théorème des accroissements finis
Passons au théorème des accroissements finis.
Ce théorème dit que sur un intervalle, la courbe admet un point où la tangente est parallèle à une corde.
Autrement dit, il existe un point où la pente instantanée égale la pente moyenne entre deux extrémités.
Si f est continue sur a b fermé, et dérivable sur a b ouvert, alors il existe c entre a et b.
Ce c vérifie : f prime de c égale f de b moins f de a, sur b moins a.
Voici pourquoi cette égalité a un sens géométrique immédiat.
La corde qui relie A et B a une certaine pente, celle du taux moyen entre ces deux points.
Le théorème garantit qu'au moins une tangente, quelque part entre A et B, a cette même pente.
Cette tangente est donc parallèle à la corde, c'est l'image à retenir.
Faisons un exemple pour appliquer ce théorème.
On prend f de x égale x carré, sur l'intervalle 1, 4.
f est continue et dérivable partout, donc le théorème s'applique directement.
On calcule d'abord le taux moyen entre 1 et 4.
Ce taux moyen vaut 5.
On cherche maintenant c tel que f prime de c soit égal à 5.
On résout cette équation simple : c égale 5 sur 2.
On vérifie que c égale 2,5 appartient bien à l'intervalle ouvert 1, 4.
Ce point c existe bien, conformément à ce que le théorème annonçait.
Retiens la méthode : calculer le taux moyen, puis résoudre f prime de c égale ce taux.
Ce théorème ne donne pas toujours une valeur unique de c, juste son existence.
Il sert de base à d'autres résultats, comme celui que l'on voit juste après.
Pour f(x) = x³ sur [0, 3], quelle valeur de c vérifie l'égalité des accroissements finis ?
5. Inégalité des accroissements finis
Passons à l'inégalité des accroissements finis.
C'est une conséquence du théorème précédent, mais sous forme d'encadrement, sans chercher le point c exact.
Autrement dit, elle encadre l'écart entre deux valeurs de f, sans qu'on connaisse la valeur précise de c.
Si f prime est bornée sur a b, par un nombre M, alors on a une double inégalité.
La valeur absolue de f de b moins f de a est inférieure ou égale à M, fois b moins a.
Voici pourquoi cette inégalité découle directement du théorème des accroissements finis.
Le théorème donne f de b moins f de a, égal à f prime de c, fois b moins a.
Comme f prime de c est en valeur absolue inférieure ou égale à M, on majore directement l'écart.
On obtient ainsi une borne sur l'écart, sans jamais calculer ce c précisément.
Faisons un exemple pour voir cette méthode à l'œuvre.
On prend f de x égale x carré, sur l'intervalle 0, 3.
La dérivée de f est 2x, et sur 0, 3, elle reste entre 0 et 6.
On peut donc prendre M égale 6 comme majorant de la dérivée.
On applique l'inégalité : f de 3 moins f de 0, en valeur absolue, est inférieur ou égal à 6 fois 3.
On vérifie : f de 3 vaut 9, f de 0 vaut 0, donc l'écart réel est 9.
L'écart réel, 9, est bien inférieur à la borne 18 donnée par l'inégalité.
Retiens cette méthode : majorer d'abord la dérivée, puis multiplier par la longueur de l'intervalle.
Cette inégalité est très utile pour estimer un écart sans résoudre d'équation.
Si |f'(x)| ≤ 4 sur [1, 5], quelle borne obtient-on pour |f(5) − f(1)| ?
6. Approximation affine
Terminons avec l'approximation affine.
L'approximation affine, c'est remplacer f près de a par sa tangente, qui est une fonction affine.
Autrement dit, on approche une courbe compliquée par une droite, valable seulement près du point a.
Pour x proche de a, f de x est à peu près égal à f de a, plus f prime de a, fois x moins a.
Voici pourquoi cette approximation est raisonnable, surtout très près du point a.
La tangente touche la courbe en a, et colle presque à la courbe tout près de ce point.
Plus x s'éloigne de a, plus l'écart entre la courbe et la tangente grandit.
Faisons un exemple pour utiliser cette approximation.
On veut une valeur approchée de racine de 4,02, en utilisant a égale 4.
On calcule f de 4, qui vaut 2, et f prime de x, qui vaut 1 sur 2 racine de x.
On évalue f prime en 4 : 1 sur 2 fois 2, soit 1 sur 4.
On applique la formule avec x égale 4,02, donc x moins a égale 0,02.
Cela donne 2 plus 0,005, soit 2,005.
Cette valeur approchée est très proche de la vraie valeur de racine de 4,02.
Retiens cette méthode : choisir a proche de x, calculer f de a et f prime de a, puis appliquer la formule.
Cette approximation affine clôt ce chapitre sur la dérivabilité et ses outils.
Avec f(x) = x³ et a = 2, quelle approximation affine donne une valeur proche de 2,01 au cube ?
Voilà, tout le chapitre sur la dérivabilité est maintenant devant toi.
Tu as les outils pour étudier la dérivabilité, les variations, et faire des approximations.
Entraîne-toi avec les deux exercices pour bien fixer toutes ces méthodes.