درس نور
الاتصال والنهايات
اليوم، الفصل كاملا: « الاتصال والنهايات »، السنة الرابعة ثانوي، شعبة الرياضيات.
ما تقوله نور
1. تذكير
اليوم، الفصل كاملا: « الاتصال والنهايات »، السنة الرابعة ثانوي، شعبة الرياضيات.
سنمر على ست نقاط: التذكير، الفروع اللانهائية، الدالة المركبة، النهايات والترتيب، وصورة المجال بدالتين، متصلة ثم رتيبة.
نبدأ بالقسم الأول: التذكير.
في هذا القسم نراجع ما درسناه عن الاتصال والنهايات في السنة الماضية.
الدالة متصلة عند نقطة a إذا كانت نهايتها عند a تساوي قيمتها عند a.
أي أن منحنى الدالة لا ينقطع عند تلك النقطة، نرسمه دون رفع القلم.
هذه دالة متصلة عند النقطة a، منحناها مستمر بدون قفزة.
أما هذه فدالة غير متصلة عند b، يوجد قفزة في المنحنى عندها.
نتذكر أيضا النهايات المألوفة، مثل نهاية دالة كثيرة الحدود عند زائد مالانهاية.
ونتذكر نهاية مقلوب x عندما يقترب x من الصفر.
والعمليات على النهايات: نهاية مجموع، جداء وحاصل قسمة دالتين.
معظم هذه الحالات تسير بشكل طبيعي، لكن توجد حالات غامضة يجب الانتباه لها.
مثلا عندما نحصل على صفر مقسوما على صفر، أو مالانهاية ناقص مالانهاية.
في هذه الحالات نحتاج إلى تحويل كتابة الدالة قبل حساب النهاية.
لنأخذ مثالا محلولا كاملا من نوع الحالات الغامضة.
هنا لدينا مالانهاية ناقص مالانهاية، وهي حالة غامضة فعلا.
الحل هو ضرب وقسمة العبارة في المرافق، أي الجذر زائد x.
نحصل على x تربيع زائد واحد ناقص x تربيع، مقسوما على المرافق.
البسط أصبح يساوي واحدا فقط، والمقام يؤول إلى مالانهاية.
إذن النهاية هي واحد مقسوم على مالانهاية، وهذا يساوي صفرا.
هذه هي الطريقة الأساسية للتعامل مع حالات مالانهاية ناقص مالانهاية.
نتذكر إذن أن الاتصال يعني تطابق النهاية مع القيمة، ونتذكر الحالات الغامضة.
والطريقة دائما هي تحويل كتابة العبارة، بالمرافق أو بوضع عامل مشترك.
ما هي الحالات الغامضة التي يجب الانتباه لها عند حساب نهاية دالة؟
2. الفروع اللانهائية
ننتقل الآن إلى القسم الثاني: الفروع اللانهائية.
الفرع اللانهائي هو شكل منحنى الدالة عندما يبتعد x كثيرا، أو عندما تكبر قيم الدالة بلا حدود.
من أهم هذه الفروع، المستقيمات المقاربة، التي يقترب منها المنحنى دون أن يلتقي بها دائما.
المقارب الأفقي يحدث حين تؤول الدالة إلى عدد ثابت عندما يؤول x إلى مالانهاية.
هنا الدالة تقترب من المستقيم y يساوي اثنين، كلما كبر x.
المقارب الشاقولي يحدث حين تؤول الدالة إلى مالانهاية عندما يقترب x من عدد معين.
نكتب أن نهاية الدالة عند اقتراب x من أربعة من اليمين تساوي زائد مالانهاية.
يوجد أيضا المقارب المائل، وهو مستقيم غير أفقي يقترب منه المنحنى عند مالانهاية.
نثبت وجوده بحساب نهاية الفرق بين الدالة والمستقيم، ويجب أن تؤول هذه النهاية إلى صفر.
لنأخذ مثالا محلولا: الدالة f من x تساوي x زائد واحد زائد واحد على x.
نكتب الدالة كمجموع بين المستقيم x زائد واحد، وحد يؤول إلى صفر.
عندما يؤول x إلى زائد مالانهاية، فإن واحد على x يؤول إلى صفر.
إذن الفرق بين الدالة والمستقيم يؤول إلى صفر، فالمستقيم y يساوي x زائد واحد مقارب مائل.
نرسم المستقيم المائل والمنحنى يقترب منه شيئا فشيئا بعيدا عن المحور.
إذن ثلاثة أنواع من المقاربات: أفقي، شاقولي، ومائل، وكل واحد له شرطه الخاص بالنهاية.
كيف نثبت أن مستقيما معينا هو مقارب مائل لمنحنى دالة عند مالانهاية؟
3. الاتصال ونهاية دالة مركبة
ننتقل الآن إلى القسم الثالث: الاتصال ونهاية دالة مركبة.
الدالة المركبة هي دالة نحصل عليها بتطبيق دالة على نتيجة دالة أخرى.
أي أننا نأخذ x، نطبق عليه الدالة f، ثم نطبق الدالة g على الناتج.
نريد معرفة نهاية هذه الدالة المركبة عند نقطة معينة، أو عند مالانهاية.
نسمي هذا الموضوع نهاية دالة مركبة، أي حساب نهاية g مركبة f بمعرفة نهاية كل منهما على حدة.
فإن نهاية الدالة المركبة g مركبة f عند a تساوي ل.
الفكرة بسيطة: ما دامت f تقرب x من b، فإن g تقرب الناتج من ل.
وكذلك إذا كانت f متصلة عند a، وg متصلة عند f من a، فالمركبة متصلة عند a.
أي أن تركيب دالتين متصلتين يعطي دالة متصلة أيضا، دون أي قفزة.
لنأخذ مثالا محلولا كاملا: نحسب نهاية الجذر التربيعي لـ x تربيع زائد واحد عند زائد مالانهاية.
نعتبر الدالة الداخلية f من x تساوي x تربيع زائد واحد.
نحسب أولا نهاية هذه الدالة الداخلية عندما يؤول x إلى زائد مالانهاية.
ثم نعتبر الدالة الخارجية g من y تساوي الجذر التربيعي لـ y.
نحسب نهاية g عندما y يؤول إلى زائد مالانهاية، وهي أيضا زائد مالانهاية.
بما أن f تؤول إلى زائد مالانهاية، وg تؤول إلى زائد مالانهاية عندها، نركب النتيجتين.
إذن نهاية الدالة المركبة عند زائد مالانهاية تساوي زائد مالانهاية أيضا.
هذه هي الطريقة: نفصل الدالة المركبة إلى دالتين، ونحسب نهاية كل واحدة بدورها.
ونتذكر أن اتصال دالتين عند نقطتين متناسبتين يعطي اتصال الدالة المركبة بينهما.
هذه الطريقة تفيدنا كثيرا في حساب نهايات معقدة تبدو صعبة للوهلة الأولى.
كيف نحسب نهاية دالة مركبة g مركبة f عند نقطة a؟
4. النهايات والترتيب
ننتقل الآن إلى القسم الرابع: النهايات والترتيب.
هنا نربط بين ترتيب دالتين وترتيب نهايتيهما، وهذا يفيدنا كثيرا في حساب النهايات الصعبة.
أول نتيجة: إذا كانت f أصغر أو تساوي g بالقرب من a، فنهاياتهما تحافظ على هذا الترتيب.
أهم نتيجة عملية هي نظرية المقارنة، أو ما يسمى نظرية الحصر.
إذا كانت دالتنا محصورة بين دالتين لهما نفس النهاية، فنهايتها تساوي تلك النهاية أيضا.
نتخيل f محصورة بين دالتين تقتربان من نفس العدد، فتضطر للاقتراب منه هي أيضا.
الدالتان البرتقاليتان تقتربان من اثنين، فالدالة الزرقاء بينهما تقترب من اثنين أيضا.
لنأخذ مثالا محلولا: نحسب نهاية جيب x على x عندما يؤول x إلى زائد مالانهاية.
نعلم أن جيب x محصور دائما بين ناقص واحد وواحد، مهما كانت قيمة x.
نقسم كل الحدود على x، وهو موجب عندما يؤول إلى زائد مالانهاية.
نهاية ناقص واحد على x، ونهاية واحد على x، كلاهما يساوي صفرا عند مالانهاية.
إذن الدالة محصورة بين دالتين تؤولان إلى صفر، فهي أيضا تؤول إلى صفر.
هذه نظرية الحصر، أداة قوية جدا عندما لا نستطيع حساب النهاية مباشرة.
ماذا تقول نظرية المقارنة، أو نظرية الحصر، في حساب نهاية دالة؟
5. صورة مجال بدالة متصلة
ننتقل الآن إلى القسم الخامس: صورة مجال بدالة متصلة.
نتحدث هنا عن فكرة مهمة جدا، وهي فكرة الدالة المتصلة على مجال مغلق ومحدود.
أي دالة معرفة على مجال من الشكل a، b، حيث a وb عددان محددان، ومتصلة عليه بدون انقطاع.
إذا كانت الدالة كذلك متصلة ومعرفة على مجال مغلق ومحدود، فصورتها أيضا مجال مغلق ومحدود.
نرسم الدالة على المجال من a إلى b، صورتها تكون محصورة بين أصغر قيمة وأكبر قيمة.
ننتقل الآن إلى نتيجة أقوى وأشهر، وهي مبرهنة القيم الوسيطية.
أي أن كل عدد k محصور بين قيمة الدالة عند a وقيمة الدالة عند b، له سابق بين a وb.
بما أن المنحنى مستمر بدون انقطاع، فهو يمر حتما بكل قيمة بين f من a وf من b.
نقطة تقاطع هذا الخط الأفقي مع المنحنى تعطينا قيمة c التي نبحث عنها.
حالة خاصة مهمة جدا: إذا كانت f من a وf من b متضادتين في الإشارة، فللدالة صفر بينهما.
لنأخذ مثالا محلولا: نثبت أن معادلة x تكعيب ناقص ثلاثة x زائد واحد تقبل حلا بين صفر وواحد.
أولا، الدالة كثيرة حدود، ومتصلة إذن على كل الأعداد الحقيقية ومنها المجال صفر واحد.
نحسب f من صفر، نجد واحدا، وهو عدد موجب.
نحسب f من واحد، نجد واحد ناقص ثلاثة زائد واحد، أي ناقص واحد، وهو عدد سالب.
إذن f من صفر مضروبة في f من واحد أصغر من صفر، فالشرط محقق.
حسب مبرهنة القيم الوسيطية، توجد قيمة c بين صفر وواحد، تحقق f من c يساوي صفرا.
ما هو الشرط الذي يضمن لنا وجود حل لمعادلة f من x يساوي صفر داخل مجال a، b؟
6. صورة مجال بدالة رتيبة تماما
ننتقل الآن إلى القسم السادس والأخير: صورة مجال بدالة رتيبة تماما.
الدالة الرتيبة تماما هي دالة تتزايد دائما، أو تتناقص دائما، على مجال معين بدون انقطاع في الرتابة.
إذا كانت الدالة متصلة ورتيبة تماما على مجال a، b، فصورتها مجال أيضا بين f من a وf من b.
هنا الدالة متزايدة تماما، فصورة المجال a، b هي المجال من f من a إلى f من b.
أما إذا كانت الدالة متناقصة تماما، فصورة المجال تنعكس الترتيب بين الطرفين.
هذه النتيجة تفيدنا كثيرا في تحديد صورة مجال بدون رسم المنحنى كاملا، فقط بحساب الطرفين.
يمكن أيضا توسيع هذه الفكرة إلى مجالات مفتوحة، أو مجالات غير محدودة، باستعمال النهايات عند الأطراف.
لنأخذ مثالا محلولا: الدالة f من x تساوي واحد على x، معرفة على المجال من واحد إلى زائد مالانهاية.
أولا، الدالة متصلة ومتناقصة تماما على هذا المجال، لأن مقلوب x يتناقص كلما كبر x.
نحسب قيمة الدالة عند الطرف الأول، f من واحد يساوي واحدا.
نحسب نهاية الدالة عند الطرف الثاني، عندما يؤول x إلى زائد مالانهاية، تؤول f إلى صفر.
بما أن الدالة متناقصة، فصورة المجال هي من النهاية عند زائد مالانهاية إلى f من واحد.
إذن صورة المجال واحد، زائد مالانهاية، بالدالة f، هي المجال نصف المفتوح من صفر إلى واحد.
نلاحظ أن صفرا غير محقق، لأن الدالة لا تصل إليه أبدا، فقط تقترب منه.
هذه هي الطريقة: نحدد الرتابة، ثم نحسب القيم أو النهايات عند طرفي المجال، ونرتبهما.
كيف تتغير صورة المجال a، b عندما تكون الدالة متناقصة تماما بدلا من متزايدة؟
بهذا نكون قد أنهينا فصل الاتصال والنهايات كاملا.
راجع التعريفات والمبرهنات، وتدرب على التمرينين لتثبيت الطريقة.
النجاح يأتي بالتمرين المستمر، إلى لقاء قادم.