Leçon de Nour
Continuité et limites
Aujourd'hui, tout le chapitre « Continuité et limites », en quatrième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Rappels
Aujourd'hui, tout le chapitre « Continuité et limites », en quatrième année, section Mathématiques.
On va revoir les bases, puis les limites, la continuité, et leurs liens avec l'ordre et les intervalles.
Chaque partie a son exemple, comme au bac, pour bien comprendre.
Commençons par les rappels sur les limites et la continuité, vus en troisième année.
D'abord, une fonction continue en un point a.
Ça veut dire que la limite de f en a existe, et qu'elle vaut f de a.
Autrement dit, la courbe ne fait pas de saut au point a.
Voici une courbe continue, sans aucune cassure.
Voici au contraire une fonction qui saute en x égale 1 : elle n'est pas continue là.
La courbe est basse avant 1, puis saute brusquement au-dessus.
On rappelle aussi la continuité à gauche et à droite d'un point.
Si les deux limites, à gauche et à droite, sont égales à f de a, alors f est continue en a.
On rappelle enfin les limites usuelles, vues l'an dernier.
La limite de un sur x quand x tend vers plus l'infini vaut zéro.
Et la limite de un sur x quand x tend vers zéro n'existe pas, car elle dépend du côté.
On rappelle aussi les opérations sur les limites : somme, produit, quotient.
Ces règles marchent comme pour les nombres, sauf dans les formes dites indéterminées.
Dans ces cas-là, il faut transformer l'expression avant de passer à la limite.
Prenons un exemple de bac : calculons la limite en plus l'infini de f de x.
f de x égale deux x au carré moins trois x, le tout sur x plus un.
En plus l'infini, le numérateur tend vers plus l'infini, le dénominateur aussi.
On a une forme indéterminée, donc on factorise par le terme de plus haut degré.
On simplifie par x, il reste x fois le rapport des deux parenthèses.
Quand x tend vers plus l'infini, trois sur x et un sur x tendent vers zéro.
Le rapport tend donc vers deux sur un, c'est-à-dire deux.
Et x tend vers plus l'infini, donc le produit tend vers plus l'infini.
On encadre bien ce résultat, obtenu après avoir levé l'indétermination.
Cette méthode de factorisation sert dans presque tous les calculs de limites en l'infini.
Retiens bien la définition de la continuité en un point, avec les limites à gauche et à droite.
Retiens aussi le réflexe : face à une forme indéterminée, on factorise ou on simplifie.
Ces rappels sont la base de tout ce chapitre sur la continuité et les limites.
Quelle est la limite en plus l'infini de la fonction x carré moins x, sur x ?
2. Branches infinies
Passons maintenant aux branches infinies, qui décrivent le comportement d'une courbe loin de l'origine.
Une branche infinie apparaît quand x ou f de x tend vers l'infini.
Premier cas : la limite de f de x est un nombre fini b, quand x tend vers l'infini.
La droite horizontale d'équation y égale b est alors une asymptote horizontale.
Voici une courbe qui s'approche de la droite y égale deux, sans jamais la toucher.
Deuxième cas : la limite de f de x est l'infini, quand x tend vers un nombre fini a.
La droite verticale d'équation x égale a est alors une asymptote verticale.
Voici une courbe qui explose près de x égale un.
Troisième cas : f de x et x tendent tous les deux vers l'infini, sans asymptote simple.
On compare alors f de x à une droite, en étudiant la limite de f de x moins a x moins b.
Si cette limite vaut zéro, la droite y égale a x plus b est une asymptote oblique.
Prenons un exemple du bac pour bien voir cette méthode.
Soit f de x égale x plus un, plus un sur x, définie pour x différent de zéro.
On cherche d'abord la limite de f de x moins la droite y égale x plus un.
Quand x tend vers plus l'infini, un sur x tend vers zéro.
Donc la droite y égale x plus un est bien asymptote oblique à la courbe, en plus l'infini.
Le même résultat est vrai en moins l'infini, par le même calcul.
On trace la courbe et son asymptote oblique, qui se rapprochent loin de zéro.
Les deux courbes se confondent presque, quand x devient grand.
Retiens les trois types de branches infinies : horizontale, verticale, et oblique.
Pour l'asymptote oblique, le réflexe est de calculer la limite de f de x moins a x moins b.
Si cette limite est nulle, tu as démontré que la droite est bien asymptote à la courbe.
Quelle est l'asymptote oblique de la fonction f de x égale deux x moins trois plus un sur x au carré ?
3. Continuité et limite d'une fonction composée
Passons maintenant à la limite d'une fonction composée, et à sa continuité.
Une fonction composée, c'est une fonction appliquée au résultat d'une autre fonction.
On calcule d'abord f de x, puis on applique g au résultat obtenu.
La limite d'une fonction composée se calcule en deux étapes successives.
Alors la limite de g rond f en a vaut L, directement.
Autrement dit, on remplace la variable qui tend vers a par la valeur qu'elle approche.
Le même principe donne la continuité d'une fonction composée.
Alors g rond f est continue en a, c'est-à-dire sans saut au point a.
Cette règle permet d'étudier la continuité de fonctions plus compliquées, construites par étapes.
Voici l'idée : si chaque étape est continue, l'enchaînement complet l'est aussi.
Par exemple, la racine carrée de x carré plus un est toujours bien définie, et continue.
Prenons un exemple du bac pour appliquer cette règle précisément.
Calculons la limite en plus l'infini de h de x, racine de deux x plus un, sur x plus un.
On pose d'abord f de x égale deux x plus un, sur x plus un, à l'intérieur.
La limite de f de x en plus l'infini vaut deux, par factorisation du degré le plus haut.
Ensuite, g est la fonction racine carrée, continue en deux.
Par composition, la limite de h de x en plus l'infini vaut racine de deux.
On a bien utilisé les deux étapes : limite de f, puis limite de g en ce point.
Ce résultat encadré montre la méthode complète de la limite composée.
Retiens la méthode : identifier la fonction intérieure, trouver sa limite, puis appliquer la fonction extérieure.
Retiens aussi que la continuité d'une composée suit exactement la même logique en deux étapes.
Cette règle est très utile pour étudier des fonctions construites à partir de racines ou de quotients.
Quelle est la limite en plus l'infini de la racine de x carré plus un, sur x ?
4. Limites et ordre
Passons maintenant au lien entre les limites et l'ordre des fonctions.
Premier résultat : si f est inférieure ou égale à g près de a, leurs limites gardent cet ordre.
C'est le théorème de comparaison des limites, utile pour encadrer une limite inconnue.
Alors h de x est coincée entre les deux, et tend aussi vers L.
C'est le théorème des gendarmes : h est encadrée par deux fonctions qui tendent vers la même limite.
Passons à la limite d'une fonction monotone, qui veut dire une fonction toujours croissante ou toujours décroissante.
Si f est croissante et majorée, alors f admet une limite finie en plus l'infini.
Autrement dit, la courbe monte toujours mais ne dépasse jamais un certain plafond, donc elle se stabilise.
Voici un exemple visuel : une courbe qui grimpe doucement vers une asymptote.
Elle monte toujours, mais reste toujours en dessous de la droite y égale trois.
Prenons un exemple du bac pour utiliser le théorème des gendarmes.
Soit f de x égale deux plus sinus de x, sur x, pour x strictement positif.
On sait que sinus de x est toujours compris entre moins un et un.
Donc deux plus sinus de x est compris entre un et trois.
On divise par x, qui est positif, donc l'ordre des inégalités ne change pas.
Quand x tend vers plus l'infini, un sur x et trois sur x tendent tous les deux vers zéro.
Par le théorème des gendarmes, f de x tend donc vers zéro en plus l'infini.
Retiens le théorème des gendarmes : encadrer une fonction difficile par deux fonctions simples de même limite.
Retiens aussi qu'une fonction monotone et bornée admet toujours une limite finie.
Quelle est la limite en plus l'infini de la fonction trois plus cosinus de x, sur x ?
5. Image d'un intervalle par une fonction continue
Passons à l'image d'un intervalle par une fonction continue.
Premier résultat : l'image d'un intervalle par une fonction continue est aussi un intervalle.
Autrement dit, la courbe ne saute aucune valeur entre son minimum et son maximum.
Passons au cas d'une fonction continue sur un intervalle fermé borné, c'est-à-dire un intervalle du type a, b fermé aux deux bouts.
Dans ce cas, l'image de l'intervalle fermé borné a, b est aussi un intervalle fermé borné.
m est le minimum de f sur l'intervalle, M est son maximum.
Ce résultat vient du théorème des valeurs intermédiaires, c'est-à-dire que f prend toutes les valeurs entre deux de ses valeurs.
La courbe passe forcément par la hauteur k, puisqu'elle va continûment de f de a à f de b.
Voici la courbe entre a et b, avec une valeur k entre f de a et f de b.
La droite horizontale k coupe forcément la courbe en au moins un point c.
Prenons un exemple du bac pour appliquer ce théorème.
Soit f de x égale x au cube moins trois x plus un, sur l'intervalle zéro, deux.
f est continue sur zéro, deux, car c'est une fonction polynôme.
On calcule f de zéro, qui vaut un, et f de deux, qui vaut trois.
On veut montrer que l'équation f de x égale deux a une solution dans zéro, deux.
Comme deux est compris entre f de zéro et f de deux, et que f est continue.
Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'un c dans zéro, deux, avec f de c égale deux.
Cette méthode sert à prouver l'existence d'une solution, sans forcément la calculer.
Elle introduit aussi le prolongement par continuité, c'est-à-dire compléter une fonction en un point où elle n'est pas définie.
Si la limite de f en ce point existe et est finie, on peut prolonger f pour la rendre continue là.
Retiens que l'image d'un intervalle continu est un intervalle, et que sur un fermé borné, c'est un fermé borné.
Retiens surtout le théorème des valeurs intermédiaires : il prouve l'existence d'une solution entre deux valeurs connues.
Montre que l'équation x au cube plus x moins un égale zéro a une solution dans zéro, un.
6. Image d'un intervalle par une fonction strictement monotone
Terminons avec l'image d'un intervalle par une fonction strictement monotone.
Une fonction strictement monotone est toujours strictement croissante, ou toujours strictement décroissante, sur un intervalle.
Si en plus f est continue sur l'intervalle a, b, elle réalise une bijection de a, b vers son image.
Si f est strictement croissante, l'image de a, b est l'intervalle f de a, f de b.
Si f est strictement décroissante, l'image de a, b est l'intervalle f de b, f de a.
Autrement dit, l'ordre des bornes de l'image suit le sens de variation de la fonction.
Ce résultat combine le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie, pour garantir une unique solution.
Voici une courbe strictement croissante, qui monte sans jamais redescendre ni stagner.
Chaque hauteur entre f de a et f de b n'est atteinte qu'une seule fois.
Prenons un exemple du bac pour bien utiliser ce théorème.
Soit f de x égale x au cube plus x plus un, sur l'intervalle moins un, un.
La dérivée de f est trois x carré plus un, toujours strictement positive.
Donc f est strictement croissante et continue sur moins un, un.
On calcule f de moins un, qui vaut moins un, et f de un, qui vaut trois.
Donc f réalise une bijection de moins un, un vers l'intervalle moins un, trois.
Comme zéro appartient à moins un, trois, l'équation f de x égale zéro a une unique solution.
Cette unicité, en plus de l'existence, vient justement de la stricte monotonie de f.
Retiens bien que la stricte monotonie ajoute l'unicité à l'existence donnée par la continuité.
Retiens aussi que l'image d'un intervalle suit le sens de variation, croissant ou décroissant.
Ce théorème est très utilisé au bac pour montrer qu'une équation a une solution unique.
Montre que l'équation x au cube plus deux x moins un égale zéro a une unique solution dans zéro, un.
Voilà, on a parcouru tout le chapitre sur la continuité et les limites.
Retiens surtout le théorème des valeurs intermédiaires et son lien avec la stricte monotonie.
Entraîne-toi avec les deux exercices proposés pour bien maîtriser cette méthode.