درس نور
العدد المشتق
اليوم، الفصل كاملا: «العدد المشتق»، السنة الثالثة ثانوي، شعبة الرياضيات.
ما تقوله نور
1. العدد المشتق · الموافقة التآلفية
اليوم، الفصل كاملا: «العدد المشتق»، السنة الثالثة ثانوي، شعبة الرياضيات.
سندرس هذا الفصل في خمسة أجزاء، من تعريف العدد المشتق إلى نصف المماس العمودي، خطوة بخطوة.
نبدأ بالجزء الأول: العدد المشتق والموافقة التآلفية.
لنتخيل دالة f ومنحنى يمثلها في معلم.
نأخذ نقطة a على المحور، ونرسم النقطة A على المنحنى عند هذه القيمة.
نعتبر f(x) يساوي x تربيع، والنقطة a تساوي 1.
نضيف عددا صغيرا h إلى a، فنحصل على نقطة ثانية على المنحنى اسمها M.
الخط الواصل بين A و M يسمى قاطعا للمنحنى.
ميل هذا القاطع هو النسبة بين فرق قيم الدالة وفرق قيم x.
الآن نقرب M شيئا فشيئا من A، بجعل h يقترب من الصفر.
القاطع يدور تدريجيا ويقترب من وضع نهائي، وهو المماس عند A.
العدد المشترق في a هو نهاية هذه النسبة عندما h يقترب من الصفر.
نقول إن f قابلة للاشتقاق في a، أي أن هذه النهاية موجودة وهي عدد محدد.
هذا العدد f شرطة a هو بالضبط ميل المماس للمنحنى عند النقطة A.
لنحسب هذا العدد المشتق في مثالنا، حيث f(x) يساوي x تربيع و a يساوي 1.
ننشر (1+h) تربيع، فنحصل على 1 زائد 2h زائد h تربيع، ناقص 1.
نبسط h من البسط والمقام، فتبقى النسبة تساوي 2 زائد h.
عندما h يقترب من الصفر، هذه النسبة تقترب من 2.
إذن ميل المماس للمنحنى عند النقطة التي فيها a يساوي 1 هو 2.
ننتقل الآن إلى فكرة الموافقة التآلفية، وهي فكرة قريبة جدا من المماس.
الموافقة التآلفية تعني تقريب قيمة f بالقرب من a بعبارة من الدرجة الأولى في h.
بما أن النسبة تقترب من f شرطة a، فإن f(a+h) تقترب من f(a) زائد h ضرب f شرطة a.
هذا يعني أننا نستبدل المنحنى، بالقرب من A، بمماسه، وهو مستقيم بسيط.
لنطبق هذا في مثالنا: نقرب قيمة f عند 1 زائد h، مع f شرطة 1 يساوي 2.
فلو أخذنا h يساوي 0,01، نجد تقريبا أن f(1,01) يساوي 1,0200.
هذا التقريب يكون جيدا جدا كلما كانت h صغيرة بالقرب من الصفر.
إذن تذكر: العدد المشتق هو ميل المماس، والموافقة التآلفية تقرب المنحنى بهذا المماس.
ما هو العدد المشتق لدالة f عند نقطة a؟
2. العدد المشتق للدوال الاسامية · العمليات الجبرية على الدوال القابلة للاشتقاق في a
ننتقل الآن إلى الجزء الثاني، العدد المشتق للدوال الاسامية.
نعني بالدوال الاسامية الدوال البسيطة المعروفة، مثل الثابت، و x، و x تربيع، والجذر التربيعي.
لكل واحدة من هذه الدوال، يمكن حساب عددها المشتق في أي نقطة a بنفس طريقة النهاية.
إذا كانت f ثابتة، فإن f(a+h) ناقص f(a) يساوي صفرا دائما.
فالعدد المشتق للدالة الثابتة هو صفر في كل نقطة.
إذا كانت f(x) تساوي x، فإن النسبة تساوي h على h، أي واحد دائما.
وإذا كانت f(x) تساوي x تربيع، فقد رأينا أن f شرطة a تساوي 2 ضرب a.
هذه النتائج تصبح قواعد جاهزة، نستعملها مباشرة دون العودة إلى النهاية في كل مرة.
ننتقل الآن إلى العمليات الجبرية على الدوال القابلة للاشتقاق في a.
إذا كانت f و g قابلتين للاشتقاق في a، فمجموعهما أيضا قابل للاشتقاق في a.
وجداء دالة بعدد ثابت k يعطي عددا مشتقا يساوي k ضرب f شرطة a.
أما جداء دالتين، فقاعدته أكثر دقة: f شرطة a ضرب g(a) زائد f(a) ضرب g شرطة a.
نطبق الآن هذه القواعد على مثال: نأخذ f(x) تساوي 3x تربيع زائد 2x.
نكتب هذه الدالة كمجموع حدين: 3 ضرب x تربيع، زائد 2 ضرب x.
العدد المشتق للحد الأول هو 3 ضرب 2a، أي 6 ضرب a.
والعدد المشتق للحد الثاني هو 2 ضرب 1، أي 2.
نجمع الحدين، فنحصل على f شرطة a يساوي 6 ضرب a زائد 2.
فمثلا عند a يساوي 1، نجد f شرطة 1 يساوي 8.
إذن القواعد الجبرية تسمح لنا باشتقاق دوال مركبة من جمع وضرب، بسرعة وبدون نهايات.
ما هو العدد المشتق للدالة f(x) تساوي x تربيع عند نقطة a؟
3. اشتقاق الدالة الجذر التربيعي لـ f
ننتقل الآن إلى الجزء الثالث، اشتقاق الدالة الجذر التربيعي لـ f.
نعتبر دالة f قابلة للاشتقاق في a، وموجبة تماما عند a.
نريد معرفة العدد المشتق للدالة الجديدة g، حيث g(x) يساوي الجذر التربيعي لـ f(x).
النتيجة هي أن g قابلة للاشتقاق في a، وعددها المشتق يساوي f شرطة a على 2 جذر f(a).
هذه القاعدة تحتاج أن يكون f(a) غير منعدم، لأن الجذر في المقام يمنع القسمة على صفر.
نطبق هذه القاعدة على مثال: نأخذ f(x) تساوي x تربيع زائد 1.
نحسب أولا f شرطة a، وهي 2 ضرب a، حسب القاعدة التي رأيناها سابقا.
ونحسب أيضا f(a)، وهي a تربيع زائد 1، وهي دائما موجبة تماما.
نعوض الآن في القاعدة: g شرطة a تساوي 2a على 2 جذر a تربيع زائد 1.
نبسط العدد 2 في البسط والمقام، فنحصل على a على جذر a تربيع زائد 1.
فمثلا عند a يساوي 2، نجد g شرطة 2 يساوي 0,894.
هذه القاعدة مفيدة جدا كلما كانت الدالة المدروسة جذرا تربيعيا لدالة أبسط.
إذن تذكر الشرط: يجب أن تكون f(a) موجبة تماما لتطبيق هذه القاعدة.
ما هو الشرط الضروري على f(a) لاشتقاق الدالة جذر f(x)؟
4. العدد المشتق على اليمين وعلى اليسار · نصف المماس
ننتقل الآن إلى الجزء الرابع، العدد المشتق على اليمين وعلى اليسار، ونصف المماس.
نرسم دالة لها نقطة خاصة عند a، مثل الدالة f(x) تساوي القيمة المطلقة لـ x.
نرسم منحنى هذه الدالة، وهو خط منكسر عند الصفر.
نأخذ a يساوي صفر، وننظر إلى النسبة عندما h يقترب من الصفر من جهة اليمين فقط.
إذا كان h موجبا، فإن النسبة تساوي h على h، أي واحد دائما.
هذه النهاية تسمى العدد المشتق على اليمين في a.
وإذا كان h سالبا، فإن النسبة تساوي ناقص h على h، أي سالب واحد دائما.
وهذه تسمى العدد المشتق على اليسار في a.
بما أن العددين مختلفان، فإن f ليست قابلة للاشتقاق في الصفر.
ننتقل الآن إلى فكرة نصف المماس للمنحنى عند نقطة.
نصف المماس يعني أن لكل عدد مشتق جانبي نصف مستقيم خاص به، ينطلق من نفس النقطة.
فعلى اليمين، ميل نصف المماس يساوي العدد المشتق على اليمين، أي 1.
وعلى اليسار، ميل نصف المماس يساوي العدد المشتق على اليسار، أي سالب 1.
نحصل إذن على نصفي مماس مختلفين، يلتقيان عند O بزاوية، لا في خط مستقيم واحد.
هذا بالضبط ما يحدث عند كل نقطة زاوية على منحنى دالة.
فإذا تساوى العددان المشتقان على اليمين وعلى اليسار، تصبح الدالة قابلة للاشتقاق، ويصبح المماس خطا واحدا.
إذن تذكر: نقارن العدد المشتق على اليمين بالعدد المشتق على اليسار، لمعرفة قابلية الاشتقاق عند نقطة.
ما الشرط الذي يجعل دالة قابلة للاشتقاق في نقطة a، بدلالة العددين المشتقين الجانبيين؟
5. قابلية الاشتقاق على مجال · نصف المماس العمودي
نصل الآن إلى الجزء الخامس والأخير، قابلية الاشتقاق على مجال، ونصف المماس العمودي.
نقول إن دالة f قابلة للاشتقاق على مجال I، أي أنها قابلة للاشتقاق في كل نقطة من هذا المجال.
الدوال كثيرات الحدود، مثل x تربيع أو 3x زائد 1، قابلة للاشتقاق على كامل ℝ.
أما دالة الجذر التربيعي، فهي قابلة للاشتقاق فقط على المجال المفتوح ]0 ، +∞[.
عند الصفر بالذات، الجذر التربيعي له سلوك خاص، نسميه نصف مماس عمودي.
نرسم منحنى الجذر التربيعي، وننظر إلى ما يحدث عند النقطة O.
كلما اقتربنا من O، يصبح المنحنى أكثر عمودية، فالنسبة h على h تؤول إلى زائد ما لا نهاية.
نقول إن نصف المماس العمودي يعني أن المماس يصبح خطا شاقوليا عند هذه النقطة.
في هذه الحالة، العدد المشتق على اليمين غير موجود كعدد، لأن النهاية لا نهائية.
ومع ذلك، نقول إن المنحنى يقبل نصف مماس عمودي عند هذه النقطة.
هذا يحدث كلما كانت النهاية لا نهائية، مع وجود اتجاه واضح للمنحنى عند تلك النقطة.
إذن نميز دائما بين نقطة قابلة للاشتقاق، ونقطة زاوية، ونقطة ذات نصف مماس عمودي.
ماذا نسمي الحالة التي تكون فيها نهاية النسبة لا نهائية عند نقطة من المنحنى؟
بهذا نكون قد أنهينا فصل العدد المشتق بكل أجزائه التسعة.
من تعريف العدد المشتق إلى نصف المماس العمودي، كل فكرة تبني على التي قبلها.
راجع القواعد والأمثلة، وتدرب على تمرينين لتثبيت هذا الفصل جيدا.