Leçon de Nour
Nombre dérivé
Aujourd'hui, tout le chapitre « Nombre dérivé », en troisième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Nombre dérivé · Approximation affine d'une fonction
Aujourd'hui, tout le chapitre « Nombre dérivé », en troisième année, section Mathématiques.
On va construire ce chapitre petit à petit, avec des exemples proches du bac.
Chaque partie a son dessin, un exemple travaillé, et une petite question pour toi.
Commençons par le nombre dérivé, la toute première idée du chapitre.
On part d'une fonction f, et d'un point a dans son domaine.
On prend un autre point x, proche de a, et on regarde le taux de variation entre eux.
Ce taux de variation, c'est le quotient f de x moins f de a, sur x moins a.
On dit que f est dérivable en a quand ce taux a une limite finie, quand x tend vers a.
Ça veut dire que le quotient se rapproche d'un seul nombre, de plus en plus précisément.
Ce nombre limite s'appelle le nombre dérivé de f en a, noté f prime de a.
Place un point A sur la courbe, d'abscisse a, et un point M proche, d'abscisse x.
Le taux de variation est la pente de la droite qui joint A et M.
Voici pourquoi cette limite compte: quand M se rapproche de A, la droite AM tourne doucement.
Elle se rapproche d'une position limite, une droite bien précise.
Cette position limite est la tangente à la courbe de f au point A.
Elle n'existe que si le nombre dérivé f prime de a existe vraiment.
Et sa pente est exactement ce nombre, f prime de a.
Regardons un exemple concret, avec f de x égale x carré, et a égale 2.
On écrit le taux de variation entre x et 2.
On factorise x carré moins 4, en x moins 2, fois x plus 2.
On simplifie par x moins 2, il reste juste x plus 2.
Quand x tend vers 2, ce quotient tend vers 4.
Donc f est dérivable en 2, et son nombre dérivé vaut 4.
Passons à l'approximation affine, une autre façon de voir ce nombre dérivé.
Autrement dit, près de a, on remplace la courbe de f par sa tangente.
Pour x proche de a, f de x est presque égal à f de a, plus f prime de a fois x moins a.
Cette formule donne une valeur approchée simple, sans calcul compliqué.
Reprenons f de x égale x carré, a égale 2, et f prime de 2 égale 4.
On veut une valeur approchée de f de 2 virgule 01.
On remplace: 4, plus 4 fois 0 virgule 01.
La vraie valeur est 2 virgule 01 au carré, soit 4 virgule 0401.
L'approximation affine donne 4 virgule 04, très proche du résultat exact.
Retiens bien ces deux idées pour la suite du chapitre.
Le nombre dérivé f prime de a est la limite du taux de variation en a.
Et l'approximation affine remplace f de x par f de a plus f prime de a fois x moins a, près de a.
Que représente géométriquement le nombre dérivé f prime de a ?
2. Nombre dérivé de fonctions usuelles
Passons maintenant au nombre dérivé des fonctions usuelles, celles qu'on rencontre tout le temps.
Autrement dit, ce sont des fonctions simples, dont on connaît déjà le résultat par cœur.
On commence par la fonction constante, f de x égale k, pour tout x.
Son taux de variation est toujours nul, car f de x moins f de a vaut zéro.
Donc sa limite est zéro: le nombre dérivé d'une constante est toujours zéro.
Prenons ensuite la fonction affine, f de x égale m fois x plus p.
Son taux de variation entre x et a se simplifie directement en m.
Donc f prime de a vaut m, la pente de la droite, pour tout a.
Voici pourquoi c'est logique: une droite est sa propre tangente, partout.
Passons à la fonction carré, f de x égale x au carré.
On a déjà calculé tout à l'heure que f prime de a vaut 2 fois a.
Regardons maintenant la fonction inverse, f de x égale 1 sur x, avec a différent de zéro.
On écrit le taux de variation, puis on met tout au même dénominateur.
Le numérateur a moins x est l'opposé de x moins a, donc ça se simplifie.
Quand x tend vers a, ce quotient tend vers moins 1 sur a au carré.
Enfin, voici la fonction racine carrée, f de x égale racine de x, avec a strictement positif.
On multiplie le taux de variation par l'expression conjuguée, pour enlever les racines.
Quand x tend vers a, ce quotient tend vers 1 sur 2 racine de a.
Retiens ces résultats comme un tableau de référence, à réutiliser tout au long du chapitre.
Une constante donne zéro, une fonction affine donne sa pente m.
La fonction carré donne 2a, l'inverse donne moins 1 sur a au carré.
Et la racine carrée donne 1 sur 2 racine de a.
Quel est le nombre dérivé de la fonction racine carrée en a, avec a positif ?
3. Opérations algébriques sur les fonctions dérivables en a · Fonction √f
Passons aux opérations algébriques sur les fonctions dérivables en a.
Autrement dit, on apprend à dériver une somme, un produit ou un quotient de fonctions.
On suppose que u et v sont deux fonctions dérivables en a.
Pour la somme u plus v, le nombre dérivé en a est la somme des nombres dérivés.
Pour un produit par une constante k fois u, on multiplie juste le nombre dérivé par k.
Pour le produit u fois v, la règle est un peu différente: u prime v, plus u v prime.
Et pour le quotient u sur v, à condition que v de a ne soit pas nul.
Voici pourquoi ces règles comptent: elles évitent de refaire le calcul de la limite à chaque fois.
Prenons un exemple: f de x égale x carré fois racine de x, et a égale 4.
On pose u de x égale x carré, et v de x égale racine de x.
On connaît déjà u prime de a égale 2a, et v prime de a égale 1 sur 2 racine de a.
On applique la règle du produit: u prime de 4 fois v de 4, plus u de 4 fois v prime de 4.
Cela donne 16 plus 4, soit 20.
Passons maintenant à la fonction racine de f, notée racine de f de x.
Si f est dérivable en a, et si f de a est strictement positif, alors g est dérivable en a aussi.
Le nombre dérivé de g en a vaut f prime de a, sur 2 racine de f de a.
Prenons un exemple: g de x égale racine de x carré plus 1, et a égale 0.
On pose f de x égale x carré plus 1, donc f prime de x égale 2x.
On vérifie que f de 0 vaut 1, qui est bien strictement positif.
On applique la formule: g prime de 0 égale f prime de 0, sur 2 racine de f de 0.
Le nombre dérivé de g en 0 vaut donc zéro.
Retiens bien ces quatre règles pour les opérations sur les fonctions dérivables.
La somme et le produit par une constante se dérivent terme à terme, sans surprise.
Le produit suit la règle u prime v plus u v prime.
Le quotient suit la règle avec le dénominateur au carré, si v de a n'est pas nul.
Et la fonction racine de f se dérive avec f prime de a sur 2 racine de f de a.
Quelle est la condition sur f de a pour que la fonction racine de f soit dérivable en a ?
4. Nombre dérivé à droite - Nombre dérivé à gauche · Demi-tangente à une courbe
Passons au nombre dérivé à droite et au nombre dérivé à gauche.
Autrement dit, on regarde la limite du taux de variation, mais seulement d'un côté de a.
Le nombre dérivé à droite est la limite du taux de variation, quand x tend vers a, par valeurs supérieures.
Le nombre dérivé à gauche est la même limite, mais quand x tend vers a par valeurs inférieures.
f est dérivable en a seulement si ces deux nombres existent et sont égaux.
Prenons f de x égale valeur absolue de x, et a égale zéro.
Pour x positif, le taux de variation vaut x sur x, donc 1.
Donc le nombre dérivé à droite en zéro vaut 1.
Pour x négatif, le taux de variation vaut moins x sur x, donc moins 1.
Donc le nombre dérivé à gauche en zéro vaut moins 1.
Les deux nombres sont différents, donc f n'est pas dérivable en zéro.
Passons à la demi-tangente à une courbe en un point.
Ça veut dire que même sans tangente complète, chaque côté peut avoir sa propre demi-droite limite.
Quand le nombre dérivé à droite existe, la courbe a une demi-tangente à droite au point A.
Sa pente est exactement le nombre dérivé à droite, ici 1.
Quand le nombre dérivé à gauche existe, la courbe a une demi-tangente à gauche au point A.
Sa pente est le nombre dérivé à gauche, ici moins 1.
Ici les deux demi-tangentes ont des directions différentes: la courbe fait un point anguleux en A.
Reprenons un exemple du type bac: f de x égale x fois valeur absolue de x moins 1, en a égale 1.
Pour x supérieur à 1, f de x égale x fois x moins 1.
Le taux de variation en 1 devient x plus 1 moins 1, donc tend vers 1.
Pour x inférieur à 1, f de x égale x fois 1 moins x.
Le taux de variation en 1 tend cette fois vers moins 1.
Les deux nombres dérivés latéraux existent mais diffèrent, donc f a un point anguleux en 1.
Retiens ces deux notions pour la suite du chapitre.
Le nombre dérivé à droite et à gauche se calculent comme des limites à sens unique.
f est dérivable en a seulement si ces deux limites existent et coïncident.
Sinon, la courbe garde deux demi-tangentes distinctes, de pentes différentes.
Que peux-tu dire de la courbe en A si le nombre dérivé à droite diffère du nombre dérivé à gauche ?
5. Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle · Demi-tangente verticale
Terminons avec la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle, et la demi-tangente verticale.
Autrement dit, on étend l'idée du nombre dérivé à tout un intervalle, pas juste un seul point.
f est dérivable sur un intervalle I quand elle est dérivable en chaque point de I.
Sur un intervalle fermé comme a, b, aux bornes on demande juste la dérivabilité à droite ou à gauche.
Voici pourquoi cette nuance compte: au bord, on ne peut regarder que d'un seul côté.
Prenons f de x égale racine de x, sur l'intervalle 0 à l'infini.
Pour a strictement positif, on sait déjà que f prime de a vaut 1 sur 2 racine de a.
Donc f est dérivable sur tout intervalle ouvert qui ne touche pas zéro.
Regardons maintenant ce qui se passe exactement en zéro.
Le taux de variation en zéro est racine de x sur x, soit 1 sur racine de x.
Quand x tend vers zéro par valeurs positives, 1 sur racine de x tend vers plus l'infini.
La limite est infinie, donc f n'est pas dérivable en zéro.
Ça veut dire que la courbe garde quand même une demi-tangente en zéro, mais verticale.
On appelle ça une demi-tangente verticale: la courbe part droit vers le haut en O.
Cette situation arrive chaque fois que le taux de variation tend vers plus ou moins l'infini.
Prenons un autre exemple: g de x égale racine de x, étudiée sur l'intervalle fermé 0, 4.
Sur l'intervalle ouvert 0, 4, g est dérivable, avec g prime de a égale 1 sur 2 racine de a.
En 4, borne fermée, on vérifie juste la dérivabilité à gauche, qui existe bien.
En zéro, borne fermée, le taux de variation tend vers plus l'infini: demi-tangente verticale.
Donc g est dérivable sur l'intervalle ouvert 0, 4, mais pas en zéro.
Retiens bien ces deux dernières notions du chapitre.
Dérivable sur un intervalle veut dire dérivable en chaque point, à droite ou à gauche aux bornes.
Et une demi-tangente verticale apparaît quand le taux de variation tend vers l'infini.
Que signifie une demi-tangente verticale pour le nombre dérivé en ce point ?
Voilà, tu connais maintenant tout le chapitre du nombre dérivé.
Tu sais calculer un nombre dérivé, construire une tangente, et reconnaître les cas particuliers.
Entraîne-toi sur les deux exercices pour bien fixer toutes ces idées.