درس نور
عموميات حول الدوال
اليوم، الفصل كاملا: « عموميات حول الدوال »، السنة الثالثة ثانوي، شعبة الرياضيات.
ما تقوله نور
1. تذكير
اليوم، الفصل كاملا: « عموميات حول الدوال »، السنة الثالثة ثانوي، شعبة الرياضيات.
سنمر على كل هذه الأفكار واحدة واحدة، بالتعريف وبمثال محلول وبسؤال قصير في كل مرة.
نبدأ بالقسم الأول: التذكير.
كل دالة f لها مجموعة تعريف.
أي هي مجموعة كل الأعداد x التي يوجد لها صورة f(x).
لو كان لدينا f(x) تساوي 1 على x، فإن x لا يمكن أن يساوي صفرا.
ولو كان لدينا الجذر التربيعي لـ x، فإن x يجب أن يكون موجبا أو معدوما.
مجموعة التعريف إذن تحدد أين يحق لنا أن نرسم مصور الدالة.
هناك أيضا خاصية مهمة تسمى الشفعية، أي تماثل منحنى الدالة.
الدالة زوجية إذا كان f(-x) يساوي f(x) لكل x في مجموعة التعريف.
منحناها حينئذ متماثل بالنسبة لمحور التراتيب.
والدالة فردية إذا كان f(-x) يساوي سالب f(x) لكل x في مجموعة التعريف.
منحناها حينئذ متماثل بالنسبة لمبدأ المعلم.
لنأخذ مثالا محلولا من نوع ما يرد في الامتحانات.
لتكن الدالة f المعرفة بـ f(x) تساوي س تربيع ناقص 3س زائد 2 على س ناقص 1.
لإيجاد مجموعة التعريف، نبحث أين يكون المقام مختلفا عن الصفر.
إذن x يجب أن يكون مختلفا عن 1.
الآن ندرس الشفعية: نحسب f(-x) ونقارنه بـ f(x).
هذا لا يساوي f(x) ولا يساوي سالب f(x)، فالدالة ليست زوجية ولا فردية.
هذا يحدث كثيرا، فليست كل دالة زوجية أو فردية بالضرورة.
إذن خطوتان أساسيتان: أولا نجد مجموعة التعريف، ثم نختبر الشفعية بحساب f(-x).
إذا تساوى f(-x) مع f(x) فالدالة زوجية، وإذا تساوى مع سالبها فهي فردية.
هذان المفهومان سيرافقاننا طوال هذا الفصل وما بعده.
هل الدالة h(x) = x أس 4 - x تربيع زوجية أم فردية؟
2. تقييد دالة
ننتقل الآن إلى القسم الثاني: تقييد دالة.
نقصد بتقييد دالة أخذ نفس الدالة ولكن على جزء أصغر من مجموعة تعريفها.
أي ندرس سلوك الدالة فقط على مجال معين I، جزء من D_f.
نسمي هذه الدالة الجديدة تقييد f إلى I، ونرمز لها بنفس الاسم على I.
الفائدة من هذا أن بعض الخاصيات تظهر فقط على جزء من المنحنى.
مثلا دالة قد لا تكون رتيبة على كل D_f، لكنها رتيبة على فترة منه.
لنأخذ الدالة f(x) تساوي س تربيع، المعرفة على كل ℝ.
على كل ℝ هذه الدالة ليست رتيبة، فهي تتناقص ثم تتزايد.
لكن إذا قيدناها على المجال موجب، أي [0 ؛ +∞[، تصبح متزايدة فقط.
نكتب حينئذ تقييد f إلى [0 ؛ +∞[ هو دالة متزايدة تماما.
وإذا قيدناها على [-∞ ؛ 0]، تصبح متناقصة تماما.
نكتب تقييد f إلى ]-∞ ؛ 0] هو دالة متناقصة تماما.
إذن التقييد يسمح لنا بوصف دقيق لسلوك الدالة، جزءا جزءا.
هذا مهم جدا عند رسم جدول تغيرات دالة في الامتحان.
فكل فترة من الجدول هي في الحقيقة تقييد للدالة على تلك الفترة.
ما هو تقييد الدالة f(x) = |x| إلى المجال ]-∞ ؛ 0]؟
3. المصور والحاد الأدنى
ننتقل الآن إلى القسم الثالث: المصور، والحاد الأعلى والحاد الأدنى.
نقول إن عددا M هو حاد أعلى للدالة f على مجال I.
أي أن f(x) أصغر من أو يساوي M لكل x في I.
وبالمثل، العدد m هو حاد أدنى إذا كان f(x) أكبر من أو يساوي m لكل x في I.
على المصور، هذا يعني أن المنحنى لا يتجاوز خطا أفقيا من فوق ولا من تحت.
نأخذ مثالا: الدالة f(x) تساوي س تربيع ناقص 1.
هنا العدد سالب 1 هو حاد أدنى، لأن f(x) لا ينزل تحته أبدا.
ونلاحظ أنه ليس هناك حاد أعلى، لأن الدالة تتزايد إلى ما لا نهاية.
لنقيد الدالة الآن على المجال [-1 ؛ 1].
على هذا المجال، نلاحظ أن أكبر قيمة للدالة هي عند طرفي المجال.
فنجد أن f(-1) و f(1) كلاهما يساوي 0.
إذن صفر هو حاد أعلى لتقييد الدالة على [-1 ؛ 1].
وصفر هو أيضا حاد أدنى هنا، لأن أصغر قيمة توجد عند x يساوي صفر، وهي سالب 1.
إذن الحاد الأعلى والحاد الأدنى يعتمدان على المجال الذي ندرس فيه الدالة.
هل العدد 2 حاد أعلى للدالة f(x) = س تربيع ناقص 1 على [-1 ؛ 1]؟
4. الدوال الوفية بالفترات
ننتقل الآن إلى القسم الرابع: الدوال الوفية بالفترات.
نقصد بهذا دالة تُعرَّف بعبارات مختلفة، كل عبارة على فترة معينة من ℝ.
أي أن منحنى الدالة يتكون من عدة قطع مستقيمة، قطعة لكل فترة.
كل قطعة هي في الحقيقة تقييد دالة وفية على تلك الفترة فقط.
لنأخذ مثالا محلولا يشبه ما يرد في البكالوريا.
نرسم هذه الدالة فترة فترة، بدءا من x أصغر من أو يساوي سالب 1.
على هذه الفترة، الدالة هي سالب x ناقص 1.
عند x يساوي سالب 1، نجد القيمة سالب سالب 1 ناقص 1، أي 0.
على الفترة الثانية، من سالب 1 إلى صفر، الدالة هي x زائد 1.
عند x يساوي صفر، نجد القيمة صفر زائد 1، أي 1.
نلاحظ أن القيمتين عند سالب 1 ليستا متساويتين، فالمنحنى به قفزة هناك.
على الفترة الثالثة، من صفر إلى ما لا نهاية، الدالة هي سالب 2x زائد 1.
عند x يساوي صفر، نجد القيمة سالب 2 ضرب صفر زائد 1، أي 1.
هنا القيمتان عند صفر متساويتان، فالمنحنى متصل في هذه النقطة.
إذن لرسم هذا النوع من الدوال، نرسم كل قطعة على فترتها فقط.
ثم نتحقق من القيم عند حدود الفترات، لنعرف أين توجد قفزات وأين يكون المنحنى متصلا.
هذا النوع من الدوال يظهر كثيرا في تمارين البكالوريا، فاحفظ طريقة رسمه جيدا.
عند x يساوي 2، ما قيمة f(x) في المثال السابق؟
5. الدالة x ↦ √g(x)
ننتقل الآن إلى القسم الخامس: دراسة الدالة x يُرفَق بالجذر التربيعي لـ g(x).
هذه دالة مركبة من دالة g نأخذ قيمتها، ثم نحسب جذرها التربيعي.
الجذر التربيعي معرف فقط للأعداد الموجبة أو المعدومة، فهذا يفرض شرطا على x.
أي أن مجموعة تعريف f هي كل x في مجموعة تعريف g، حيث g(x) موجبة أو معدومة.
نلاحظ أن إشارة الدالة g هي المفتاح لإيجاد مجموعة تعريف f.
لنأخذ مثالا: f(x) تساوي الجذر التربيعي لـ 4 ناقص x تربيع.
هنا g(x) تساوي 4 ناقص x تربيع، ويجب أن تكون موجبة أو معدومة.
هذا يعني أن x تربيع أصغر من أو يساوي 4.
إذن x يجب أن يكون بين سالب 2 وموجب 2، أي في المجال [-2 ؛ 2].
نرسم الآن منحنى هذه الدالة على مجموعة تعريفها.
المنحنى هو نصف دائرة فوق محور الفواصل، بين النقطتين سالب 2 وموجب 2.
عند x يساوي صفر، نجد f(x) تساوي الجذر التربيعي لـ 4، أي 2.
وعند طرفي المجال، سالب 2 وموجب 2، تكون قيمة f صفرا.
إذن قاعدة العمل هي: نحسب أولا إشارة g(x)، ثم نأخذ المجال حيث هي موجبة.
ما هي مجموعة تعريف الدالة f(x) = الجذر التربيعي لـ x تربيع ناقص 1؟
6. العمليات على الدوال
ننتقل الآن إلى القسم السادس والأخير: العمليات على الدوال.
نقصد بهذا كيف نجمع دالتين، أو نضرب دالتين، أو نضرب دالة في عدد.
أي نبني دالة جديدة انطلاقا من دالتين f و g معروفتين.
وبالمثل نعرف حاصل الضرب: (f×g) من x يساوي f(x) مضروبا في g(x).
ومجموعة تعريف الدالة الجديدة هي تقاطع مجموعتي تعريف f و g.
نأخذ مثالا: f(x) تساوي الجذر التربيعي لـ x، و g(x) تساوي 1 على x.
مجموعة تعريف f هي [0 ؛ +∞[، ومجموعة تعريف g هي ℝ النجمية.
إذن مجموعة تعريف f+g هي تقاطع هاتين المجموعتين، أي ]0 ؛ +∞[.
والعبارة الجديدة هي f+g من x يساوي الجذر التربيعي لـ x زائد 1 على x.
عند x يساوي 1، نجد القيمة 2,00.
نفس الفكرة تنطبق على حاصل الضرب f×g، بنفس مجموعة التعريف المشتركة.
إذن القاعدة العامة: نحدد أولا مجموعتي تعريف الدالتين، ثم نأخذ تقاطعهما.
بهذا نكون قد أنهينا كل أقسام هذا الفصل حول عموميات الدوال.
ما مجموعة تعريف الدالة f-g حيث f(x) = س تربيع و g(x) = 1 على (س-2)؟
بهذا نكون قد أتممنا كل أقسام فصل عموميات حول الدوال.
احتفظ جيدا بطريقة إيجاد مجموعة التعريف، فهي أساس كل الفصول القادمة.
تدرب على التمرينين المقترحين لتثبت ما تعلمته اليوم.