Leçon de Nour
Généralités sur les fonctions
Aujourd'hui, tout le chapitre « Généralités sur les fonctions », en troisième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Rappels
Aujourd'hui, tout le chapitre « Généralités sur les fonctions », en troisième année, section Mathématiques.
On va revoir les bases, puis étudier des fonctions de plus en plus précises, avec des exemples à chaque fois.
Première section : les rappels sur les fonctions.
Une fonction associe à chaque nombre x un unique nombre, noté f de x.
Mais cette association n'a pas toujours de sens pour tous les x.
L'ensemble de définition, c'est l'ensemble des x pour lesquels f de x existe vraiment.
Pour une fraction, il faut que le dénominateur ne soit jamais nul.
Pour une racine carrée, il faut que l'expression sous la racine soit positive ou nulle.
On place ensuite un repère pour représenter une fonction par sa courbe.
La courbe d'une fonction, c'est l'ensemble des points de coordonnées x et f de x.
Ici j'ai tracé la courbe de la fonction inverse, pour x positif.
Il y a aussi une notion importante : la parité d'une fonction.
La parité, c'est-à-dire le fait que la courbe soit symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ou à l'origine.
Une fonction est paire quand f de moins x est toujours égal à f de x.
Une fonction est impaire quand f de moins x est toujours égal à moins f de x.
Pour qu'on parle de parité, l'ensemble de définition doit être symétrique par rapport à zéro.
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe vertical.
Une fonction impaire a une courbe symétrique par rapport au point origine.
Prenons un exemple complet pour bien fixer ces idées.
Soit f la fonction définie par f de x égale x carré moins un, sur les réels.
Son ensemble de définition est tout l'ensemble des réels, puisqu'un carré existe toujours.
Calculons f de moins x pour étudier sa parité.
On trouve que f de moins x est égal à x carré moins un.
C'est exactement f de x : la fonction est donc paire.
Traçons sa courbe pour voir cette symétrie.
On voit bien que la partie gauche est le miroir de la partie droite.
Prenons un second exemple : g de x égale x au cube.
On calcule g de moins x, qui donne moins x au cube.
C'est l'opposé de g de x, donc g est une fonction impaire.
Pour conclure, retiens bien ces deux définitions essentielles.
L'ensemble de définition regroupe toutes les valeurs où f de x a un sens.
Et la parité se vérifie toujours en comparant f de moins x à f de x et à moins f de x.
La fonction h définie par h(x) = x² + x est-elle paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre ?
2. Restriction d'une fonction
Deuxième section : la restriction d'une fonction à un intervalle.
La restriction d'une fonction, c'est-à-dire qu'on garde la même règle mais sur un intervalle plus petit.
On note cette restriction f restreinte à I, et elle se comporte comme f, mais seulement sur I.
L'ensemble de définition de cette restriction, c'est I lui-même, pas tout D_f.
On fait ça quand f a un comportement différent selon la zone où on regarde.
Par exemple, une fonction peut monter sur un intervalle et descendre sur un autre.
Étudier chaque morceau séparément devient alors plus simple.
Prenons un exemple concret pour bien comprendre.
Soit f de x égale x carré, définie sur tous les réels.
On considère sa restriction à l'intervalle des réels positifs.
Sur cet intervalle, la fonction restriction est notée f restreinte à I.
Elle garde la même formule, x au carré, mais son domaine change.
Traçons la parabole complète de f sur tous les réels, en bleu.
Et maintenant, seulement la partie qui correspond à la restriction, en orange.
La courbe orange est la même courbe, mais arrêtée à gauche de zéro.
C'est bien la même règle, juste observée sur une partie plus petite.
Voici un second exemple, avec une fonction définie par deux morceaux différents.
Sur l'intervalle des réels négatifs, g de x est égale à moins x.
Sur l'intervalle des réels positifs, g de x est égale à x.
Chaque restriction a sa propre formule simple, plus facile à étudier.
Pour conclure, retiens bien l'idée principale de cette notion.
Restreindre une fonction, c'est juste réduire son ensemble de définition à un intervalle choisi.
La formule de f ne change jamais, seul le domaine devient plus petit.
Quel est l'ensemble de définition de la restriction de f(x) = 1/x à l'intervalle ]0 ; 5] ?
3. Majorant - Minorant
Troisième section : les notions de majorant et de minorant.
Un majorant de f sur un intervalle I, c'est-à-dire un nombre que f de x ne dépasse jamais sur I.
Pour tout x dans I, f de x reste toujours inférieur ou égal à M.
Un minorant, lui, c'est un nombre que f de x ne descend jamais en dessous sur I.
Pour tout x dans I, f de x reste toujours supérieur ou égal à m.
Quand f a à la fois un majorant et un minorant sur I, on dit qu'elle est bornée.
Géométriquement, la courbe de f reste alors coincée entre deux droites horizontales.
La droite d'équation y égale M est au-dessus de toute la courbe.
La droite d'équation y égale m est en dessous de toute la courbe.
Il existe parfois plusieurs majorants : n'importe quel nombre plus grand que M marche aussi.
C'est pour ça qu'on parle d'un majorant, pas du majorant.
Prenons un exemple complet pour voir comment on démontre cela.
Soit f de x égale un sur x carré plus un, définie sur tous les réels.
Puisque x carré est toujours positif ou nul, x carré plus un est toujours supérieur ou égal à un.
En passant à l'inverse, un sur x carré plus un devient inférieur ou égal à un.
Donc f de x est toujours compris entre zéro et un, sur tous les réels.
Un est donc un majorant de f, et zéro est un minorant de f.
Traçons la courbe de f pour visualiser cet encadrement.
Voici la droite horizontale d'équation y égale un, le majorant.
Et voici la droite d'équation y égale zéro, le minorant.
La courbe bleue reste bien coincée entre ces deux droites, sur tout son domaine.
Cette fonction est donc bornée sur l'ensemble des réels.
Remarque que le majorant un est atteint, en x égale zéro.
Mais le minorant zéro, lui, n'est jamais atteint, seulement approché.
Un majorant ou un minorant n'a pas besoin d'être une valeur prise par f.
Pour conclure, retiens bien ces deux définitions et leur lien.
Majorant veut dire que f de x ne dépasse jamais une certaine valeur.
Minorant veut dire que f de x ne descend jamais en dessous d'une certaine valeur.
Et une fonction bornée possède les deux à la fois, sur l'intervalle considéré.
La fonction f(x) = x² - 3 admet-elle un minorant sur ℝ ?
Si oui, lequel ?
4. Fonctions affines par intervalles
Quatrième section : les fonctions affines par intervalles.
Une fonction affine par intervalles, c'est-à-dire une fonction qui change de formule affine selon l'intervalle où se trouve x.
Chaque morceau est une droite, mais les droites changent d'un intervalle à l'autre.
Rappelle-toi qu'une fonction affine s'écrit a fois x plus b, avec une courbe en ligne droite.
Ici, on recolle plusieurs morceaux de droites différentes, bout à bout.
La fonction valeur absolue est l'exemple le plus connu de ce type de fonction.
Sa courbe forme un V, avec deux demi-droites de pentes opposées.
Prenons un exemple complet, un peu plus riche, pour bien comprendre la méthode.
Cette fonction a trois morceaux, chacun défini par une formule affine différente.
Sur l'intervalle des x strictement inférieurs à moins un, f de x égale moins x moins un.
Sur l'intervalle entre moins un et un, inclus, f de x égale deux x plus un.
Sur l'intervalle des x strictement supérieurs à un, f de x égale x plus deux.
Pour tracer sa courbe, on calcule d'abord les valeurs aux points de raccordement.
En x égale moins un, les deux premiers morceaux donnent bien la même valeur, moins un.
En x égale un, les deux derniers morceaux donnent aussi la même valeur, trois.
Les morceaux se recollent bien, sans saut, aux points de jonction.
Traçons maintenant la courbe complète, morceau par morceau.
Voici le premier morceau, une demi-droite descendante, avant x égale moins un.
Voici le deuxième morceau, une droite montante, entre moins un et un.
Et voici le troisième morceau, une autre droite montante, après x égale un.
On marque bien les points de raccordement, ici en moins un, moins un.
Et ici en un, trois, où les morceaux se rejoignent aussi.
La courbe entière forme une ligne brisée, continue, faite de segments de droites.
Pour étudier une telle fonction, on travaille intervalle par intervalle, séparément.
Sur chaque intervalle, c'est une simple fonction affine, facile à manier.
Pour conclure, retiens bien cette méthode en trois étapes.
D'abord, on identifie les intervalles et la formule affine sur chacun.
Ensuite, on vérifie les valeurs aux points de jonction entre les morceaux.
Enfin, on trace chaque segment de droite sur son propre intervalle.
Pour la fonction h(x) = x+3 si x<0 et h(x) = -x+3 si x≥0, quelle est la valeur de h en 0 ?
5. La fonction x ↦ √g(x)
Cinquième section : l'étude de la fonction x qui donne racine de g de x.
Pour que racine de g de x existe, il faut que g de x soit positif ou nul.
L'ensemble de définition de cette fonction est donc l'ensemble des x où g de x est positif ou nul.
La fonction racine carrée elle-même ne prend que des valeurs positives ou nulles.
Donc zéro est toujours un minorant de cette fonction, sur tout son domaine.
La première étape pour étudier une telle fonction est toujours de résoudre une inéquation.
On cherche où g de x est positif ou nul, avant même de parler de racine.
Prenons un exemple complet, avec g de x égale x moins deux.
Il faut que x moins deux soit positif ou nul, pour que la racine existe.
On trouve que x doit être supérieur ou égal à deux.
L'ensemble de définition de f est donc l'intervalle de deux à plus l'infini, fermé en deux.
Traçons la courbe de f pour voir à quoi elle ressemble.
La courbe démarre bien en x égale deux, où f de x vaut zéro.
Elle monte ensuite doucement, sans jamais redescendre en dessous de zéro.
Ce point de départ confirme bien que deux est la plus petite valeur possible de x.
Remarque que f de x reste toujours positif ou nul, comme on l'a dit au départ.
Zéro est donc bien un minorant de f sur son ensemble de définition.
Pour conclure, retiens bien la méthode pour étudier ce type de fonction.
D'abord, on pose la condition que l'expression sous la racine soit positive ou nulle.
Ensuite, on résout cette inéquation pour trouver l'ensemble de définition.
Enfin, on garde en tête que la fonction résultat reste toujours positive ou nulle.
Quel est l'ensemble de définition de f(x) = √(4 - x) ?
6. Opérations sur les fonctions
Sixième et dernière section : les opérations algébriques sur les fonctions.
Les opérations algébriques sur les fonctions, c'est-à-dire additionner, multiplier ou diviser deux fonctions entre elles.
La somme de f et g, c'est la fonction qui donne f de x plus g de x.
Le produit de f et g se définit de la même façon, en multipliant les images.
Le quotient de f sur g donne f de x divisé par g de x.
Pour l'ensemble de définition de la somme ou du produit, il faut que x soit dans les deux domaines à la fois.
Pour le quotient, il faut en plus que g de x ne soit jamais nul.
C'est logique : une division par zéro n'a jamais de sens.
Il faut donc toujours croiser les deux domaines avant de faire l'opération.
Prenons un exemple complet avec deux fonctions bien choisies.
f de x égale racine de x, définie sur les réels positifs ou nuls.
g de x égale x moins trois, définie sur tous les réels.
Formons la somme : h de x égale f de x plus g de x.
L'ensemble de définition de h est l'intersection des deux domaines précédents.
Puisque tous les réels contiennent déjà l'intervalle de zéro à l'infini, le résultat est cet intervalle.
Formons maintenant le quotient : k de x égale f de x sur g de x.
Il faut d'abord que x soit positif ou nul, pour que la racine existe.
Il faut aussi que x moins trois soit différent de zéro, donc x différent de trois.
On retire donc la valeur trois de l'intervalle de zéro à l'infini.
Voilà l'ensemble de définition complet du quotient k.
Cette méthode marche pour toute somme, tout produit ou tout quotient de deux fonctions.
Pour conclure, retiens bien ces trois opérations et leurs conditions.
Pour la somme et le produit, on prend l'intersection des deux ensembles de définition.
Pour le quotient, on ajoute la condition que le dénominateur ne s'annule jamais.
Ce chapitre t'a donné les outils de base pour étudier n'importe quelle fonction.
Quel est l'ensemble de définition de la fonction (f/g)(x) avec f(x) = x+1 et g(x) = x-5 ?
Voilà, tu as maintenant toutes les bases pour étudier n'importe quelle fonction au programme.
Ensemble de définition, parité, restriction, majorant, minorant, fonctions par morceaux et opérations : tout est lié.
Entraîne-toi avec les deux exercices, ils reprennent exactement l'esprit du bac.