درس نور
الاتصال
اليوم، الفصل كاملا: « الاتصال »، السنة الثالثة ثانوي، شعبة الرياضيات.
ما تقوله نور
1. الاتصال في نقطة · اتصال بعض الدوال الاسمة
اليوم، الفصل كاملا: « الاتصال »، السنة الثالثة ثانوي، شعبة الرياضيات.
سنمر بهذه الأقسام الستة، كل قسم فيه فكرة ومثال محلول.
نبدأ بالقسم الأول: الاتصال في نقطة.
نقول ان دالة f متصلة في نقطة a اذا كانت نهاية f عند x يؤول الى a تساوي f(a).
أي ان قيمة الدالة عند النقطة a توافق تماما الاتجاه الذي تقترب منه قيم الدالة حولها.
هذا مهم لانه سبق ان درسنا عموميات حول الدوال، والان نضيف فكرة الاتصال.
انظر الى هذا المنحنى، فهو مرسوم بخط واحد متصل بدون أي قطع عند النقطة a.
اذا كان المنحنى ينقطع او يقفز عند a، فان الدالة غير متصلة هناك.
الان لنر مثالا محلولا، كما يأتي في اسئلة البكالوريا.
لتكن الدالة f المعرفة بـ f(x) يساوي (x²-1)/(x-1) من اجل x مختلف عن 1، و f(1) يساوي 2.
نريد ان ندرس اتصال f في النقطة 1.
نبسط العبارة اولا، لان x²-1 يساوي (x-1)(x+1).
اذن من اجل x مختلف عن 1، لدينا f(x) يساوي x+1.
نحسب الان نهاية f عند x يؤول الى 1.
اذن النهاية تساوي 2، وهي نفس قيمة f(1) المعطاة في النص.
اذن الشرط محقق، والدالة f متصلة في النقطة 1.
نرسم المنحنى لنتاكد بصريا من هذا الاتصال.
المنحنى هو خط مستقيم كامل، بدون اي ثقب او قطع عند النقطة 1.
ونضع نقطة واضحة عند الاحداثيتين 1 و 2.
هذه النقطة مليئة، تدل على ان القيمة فعلا موجودة ومتوافقة مع النهاية.
الدالة f الاسمية من هذا النوع متصلة في كل نقطة من مجموعة تعريفها.
وهذا ينطبق ايضا على دوال اخرى اساسية، مثل كثيرات الحدود والدوال الكسرية.
فدالة الجذر التربيعي متصلة على مجموعة تعريفها، وهي [0;+∞[.
وكثيرات الحدود متصلة على ℝ كاملا، بدون اي استثناء.
اذن للتحقق من الاتصال في نقطة، نقارن دائما بين النهاية وقيمة الدالة.
اذا تساوى الطرفان، فالدالة متصلة في تلك النقطة، والا فهي غير متصلة.
هذه هي الفكرة الاساسية التي سنبني عليها بقية هذا الفصل.
ما هو الشرط الذي يجب ان يتحقق حتى تكون دالة f متصلة في نقطة a؟
2. اتصال الدالة |f| · العمليات الجبرية على الدوال المتصلة
ننتقل الان الى القسم الثاني: اتصال الدالة القيمة المطلقة، والعمليات الجبرية على الدوال المتصلة.
اذا كانت f دالة متصلة في نقطة a، فان الدالة |f| متصلة ايضا في a.
أي ان اخذ القيمة المطلقة لدالة متصلة لا يكسر استمرارية منحناها.
هذا طبيعي لان القيمة المطلقة تقلب الجزء السالب من المنحنى فقط الى الاعلى.
فلو كان المنحنى متصلا قبل القلب، يبقى متصلا بعده، فقط يتغير اتجاهه.
انظر هنا، هذا منحنى x، وهذا منحناه بعد القيمة المطلقة.
كلاهما متصل في كل نقطة، بدون اي قطع او قفزة.
ننتقل الان الى العمليات الجبرية على الدوال المتصلة.
أي ان مجموع دالتين متصلتين، وجداءهما، يبقيان متصلين في نفس النقطة.
وكذلك خارج القسمة f على g متصل في a، بشرط ان لا تنعدم g عند a.
لنر الان مثالا محلولا يجمع بين هاتين الفكرتين.
لتكن f(x) يساوي |x²-4| زائد 1 على (x+3)، معرفة على ℝ.
نريد ان نبرر اتصال f في النقطة 2.
الدالة x مربوط ناقص 4 كثيرة حدود، فهي متصلة على ℝ كاملا.
اذن القيمة المطلقة لها، اي |x²-4|، متصلة ايضا على ℝ، وخاصة في 2.
والدالة x زائد 3 لا تنعدم عند x يساوي 2، لان 2 زائد 3 يساوي 5.
اذن الدالة 1 على (x+3) متصلة في 2، لان المقام لا ينعدم هناك.
f هي مجموع هاتين الدالتين المتصلتين، فهي متصلة في 2 حسب قاعدة المجموع.
هكذا نثبت الاتصال بدون حساب اي نهاية مباشرة، فقط بتركيب القواعد.
لماذا الدالة x↦1/(x+3) متصلة في النقطة 2 بالضبط؟
3. اتصال الدالة الجذر التربيعي لـ f · الاتصال من اليمين ومن اليسار
ننتقل الان الى القسم الثالث: اتصال دالة الجذر التربيعي لـ f، والاتصال من اليمين ومن اليسار.
اذا كانت f متصلة في a، وكانت f موجبة او منعدمة، فان الجذر التربيعي لـ f متصل في a.
أي ان اخذ الجذر التربيعي لدالة متصلة موجبة يحافظ على الاتصال، بدون اي قطع.
هذا الشرط مهم، لان الجذر التربيعي غير معرف اصلا عند القيم السالبة.
انظر هنا، منحنى الجذر التربيعي يبدا من النقطة صفر، ويبقى متصلا بعدها.
الان ننتقل الى فكرة الاتصال من جهة واحدة، أي من اليمين او من اليسار.
أي ان الدالة قد تكون متصلة فقط عندما نقترب من a من جهة اليمين، او فقط من اليسار.
وبنفس الطريقة، الاتصال من اليسار يستعمل نهاية x يؤول الى a من تحت.
والدالة متصلة في a تماما اذا كانت متصلة من اليمين ومن اليسار معا.
لنر الان مثالا محلولا عن دالة معرفة بعبارتين مختلفتين.
لتكن f المعرفة بـ f(x) يساوي x+1 من اجل x اصغر او يساوي 1، و f(x) يساوي -x+3 من اجل x اكبر من 1.
نريد ان ندرس اتصال f في النقطة 1.
نحسب اولا النهاية من اليسار، باستعمال العبارة x+1.
ثم نحسب النهاية من اليمين، باستعمال العبارة -x+3.
وقيمة الدالة عند 1 هي f(1) يساوي 1+1، أي 2، حسب العبارة الاولى.
النهايتان من اليمين ومن اليسار متساويتان، وتساويان ايضا f(1).
ما الشرطان اللذان يجب ان يتحققا حتى تكون دالة متصلة في نقطة a تماما؟
4. الاتصال على مجال
ننتقل الان الى القسم الرابع: الاتصال على مجال.
نقول ان دالة f متصلة على مجال I اذا كانت متصلة في كل نقطة من هذا المجال.
أي ان منحنى f يُرسم من طرف المجال الى الطرف الاخر بخط واحد، بدون رفع القلم.
اذا كان المجال مغلقا من طرف، كـ [a;b]، نشترط الاتصال من اليمين في a، ومن اليسار في b.
هذا طبيعي لان المنحنى لا يمتد خارج المجال، فلا معنى للاتصال من الجهة الاخرى.
انظر هنا، هذا منحنى متصل على كامل المجال [0;4]، بخط واحد مستمر.
لكن لو وجدت قفزة في نقطة من داخل المجال، فالدالة غير متصلة على كامل المجال.
لنر الان مثالا محلولا، كما يرد في اسئلة البكالوريا.
لتكن f(x) يساوي الجذر التربيعي لـ (x-1)، معرفة من اجل x اكبر او يساوي 1.
نريد ان نبين ان f متصلة على المجال [1;+∞[.
الدالة x مطروح منها 1 كثيرة حدود، فهي متصلة على ℝ كاملا.
وهي موجبة او منعدمة بالضبط على المجال [1;+∞[، لان x-1 يكون موجبا هناك.
اذن حسب قاعدة الجذر التربيعي لدالة متصلة موجبة، f متصلة على كامل [1;+∞[.
هكذا نبرر الاتصال على مجال كامل، بالاعتماد على القواعد السابقة، وليس بحساب نهايات في كل نقطة.
ماذا نشترط عند الطرفين عندما يكون المجال من الشكل [a;b]؟
5. صورة مجال بدالة متصلة
ننتقل الان الى القسم الخامس: صورة مجال بدالة متصلة.
اذا كانت f متصلة على مجال I، فان صورة I بواسطة f هي ايضا مجال.
أي ان صورة المجال هي مجموعة كل القيم f(x) من اجل x في I، وهي مجال ايضا بدون ثقوب.
هذا مهم لان الاتصال يمنع اي قفزة، فلا يمكن ان تظهر فجوة في الصورة.
اذا كانت f متصلة ومتزايدة تماما على [a;b]، فان صورتها هي المجال [f(a);f(b)].
وان كانت متناقصة تماما، فالصورة تكون [f(b);f(a)]، أي الطرفان ينعكسان.
نلاحظ هنا ان المنحنى يبدا عند a وينتهي عند b، فتكون الصورة بين قيمتيه.
لنر الان مثالا محلولا يوضح هذه الفكرة.
لتكن f(x) يساوي -x²+2x+3، وهي متصلة ومتناقصة تماما على المجال [1;3].
نريد ان نحدد صورة المجال [1;3] بواسطة f.
نحسب اولا f(1) بتعويض x بـ 1.
ثم نحسب f(3) بتعويض x بـ 3.
بما ان f متناقصة تماما على [1;3]، فان صورة المجال هي [f(3);f(1)].
نعوض القيمتين، فنجد ان f([1;3]) يساوي [0;4].
لاحظ ان الترتيب انعكس، لان الدالة متناقصة، فالطرف الاكبر صار الاصغر في الصورة.
هذه القاعدة اساسية، وتُستعمل كثيرا في دراسة الدوال وحل المعادلات.
فمعرفة اتجاه تغير الدالة تكفي لتحديد صورة اي مجال مغلق بسهولة.
اذا كانت f متناقصة تماما ومتصلة على [a;b]، فما هي صورة هذا المجال؟
6. حل معادلات من الشكل f(x) = k
نصل الان الى القسم الاخير: حل معادلات من الشكل f(x) يساوي k.
اذا كانت f متصلة ومتزايدة تماما، او متناقصة تماما، على [a;b]، وكان k بين f(a) و f(b).
فان المعادلة f(x) يساوي k تقبل حلا وحيدا في المجال [a;b].
أي ان المنحنى يقطع الخط الافقي y يساوي k في نقطة واحدة بالضبط.
هذا طبيعي لان الدالة الرتيبة تماما تاخذ كل قيمة مرة واحدة فقط.
ولاستنتاج قيمة تقريبية لهذا الحل، نستعمل طريقة تسمى التنصيف.
أي اننا نقسم المجال مرارا الى نصفين، ونحتفظ في كل مرة بالنصف الذي يحوي الحل.
فنحصل على مجال اصغر فاصغر، يحصر الحل بدقة متزايدة في كل خطوة.
لنر الان مثالا محلولا، كما يرد في اسئلة البكالوريا.
لتكن f(x) يساوي x³+x-1، وهي متصلة ومتزايدة تماما على ℝ.
نلاحظ ان f(0) يساوي -1، و f(1) يساوي 1.
العدد صفر محصور بين f(0) و f(1)، فالمعادلة f(x) يساوي صفر تقبل حلا وحيدا في [0;1].
نطبق التنصيف، فنحسب f(0{,}5) لنعرف في اي نصف يقع الحل.
هذه القيمة سالبة، اذن الحل يقع بين 0{,}5 و 1، فنضيق المجال.
نكرر العملية مرة اخرى، فنحسب f(0{,}75).
هذه القيمة موجبة، اذن الحل يقع بين 0{,}5 و 0{,}75.
وهكذا نواصل التنصيف، فنحصل على قيمة تقريبية للحل بدقة افضل في كل خطوة.
هذه هي خلاصة الفصل كاملا: الاتصال في نقطة، على مجال، وحل معادلات باستعمال التنصيف.
ماذا تفعل طريقة التنصيف في كل خطوة من خطواتها؟
بهذا نكون قد انهينا فصل الاتصال كاملا، من الاتصال في نقطة الى حل المعادلات بالتنصيف.
احتفظ بالقاعدة الاساسية: قارن دائما بين النهاية وقيمة الدالة، ثم طبق قواعد التركيب.
هذه الادوات ستكون اساسية في فصل النهايات والاتصال القادم.