Leçon de Nour
Continuité
Aujourd'hui, tout le chapitre « Continuité », en troisième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Continuité en un réel · Continuité de certaines fonctions usuelles
Aujourd'hui, tout le chapitre « Continuité », en troisième année, section Mathématiques.
On va construire ça étape par étape, avec des dessins à chaque fois.
Première notion : la continuité en un réel.
Une fonction f est continue en un réel a, c'est-à-dire que sa courbe ne fait pas de saut en ce point.
On peut dessiner la courbe en ce point sans lever le crayon.
La définition exacte compare la limite de f en a, et la valeur de f en a.
f est continue en a si la limite de f(x) quand x tend vers a vaut f(a).
Regarde le point a sur l'axe, avec sa valeur f(a) juste au-dessus.
Quand x s'approche de a, les points de la courbe s'approchent tous de ce point.
Voici pourquoi cette idée est naturelle : une courbe continue n'a ni trou ni saut.
Prenons un contre-exemple, une fonction avec un saut en un point.
Voici une fonction qui vaut x avant 2, et x plus 2 après 2.
En x égale 2, la courbe saute brusquement de 2 à 4.
Cette fonction n'est pas continue en 2, à cause de ce saut.
Passons maintenant aux fonctions usuelles, celles qu'on connaît déjà bien.
Les fonctions polynômes sont continues sur l'ensemble des réels, sans aucune exception.
Cette courbe, x au carré, se trace sans lever le crayon, sur toute la droite.
La fonction racine carrée est continue sur l'intervalle des réels positifs.
Elle n'est même pas définie pour les réels négatifs, donc on regarde seulement où elle existe.
La fonction inverse, elle, est continue sur les réels strictement positifs, et sur les strictement négatifs.
Elle n'est pas définie en zéro, donc la continuité ne se pose même pas là.
Passons à un exemple complet, tiré du type d'exercice du bac.
On étudie la fonction f définie par x au carré plus 1 si x est inférieur ou égal à 1.
Et par 2x si x est strictement supérieur à 1.
On veut savoir si f est continue en 1.
D'abord, on calcule f de 1, avec la première formule, car 1 est inférieur ou égal à 1.
f de 1 vaut 1 au carré plus 1, c'est-à-dire 2.
Ensuite, on regarde la limite de f(x) quand x tend vers 1, avec x plus grand que 1.
Avec cette formule, 2x tend vers 2 fois 1, c'est-à-dire 2.
Les deux morceaux de courbe se rejoignent exactement au même point.
La limite à gauche, la limite à droite, et f de 1 sont toutes égales à 2.
Donc f est bien continue en 1, les deux morceaux se raccordent sans saut.
Retiens bien ceci : la continuité en a compare la limite et la valeur en a.
Les fonctions polynômes, racine carrée et inverse sont continues partout où elles sont définies.
Ce sont les briques de base pour étudier la continuité de fonctions plus compliquées.
Une fonction g vaut x plus 1 si x inférieur à 0, et x si x supérieur ou égal à 0 : g est-elle continue en 0 ?
2. Continuité de la fonction |f| · Opérations algébriques sur les fonctions continues
Deuxième partie : la continuité de la fonction valeur absolue de f.
Si f est continue en a, alors la fonction valeur absolue de f est aussi continue en a.
On prend par exemple f de x égale x, une droite qui passe par zéro.
La valeur absolue de f replie la partie négative vers le haut.
Même au point anguleux en zéro, cette courbe reste continue, sans aucun saut.
Voici pourquoi : prendre la valeur absolue ne crée jamais de trou dans la courbe.
Ça rapproche juste les valeurs négatives de zéro, du bon côté.
Passons maintenant aux opérations algébriques sur les fonctions continues.
Opérations algébriques sur les fonctions continues, c'est-à-dire ce qui se passe quand on additionne ou multiplie deux fonctions continues.
Si f et g sont continues en a, alors f plus g est continue en a.
f fois g est aussi continue en a, sans condition particulière.
Et f divisé par g est continue en a, à condition que g de a ne soit pas nul.
Ces règles marchent aussi sur tout un intervalle, pas juste en un point.
Voici pourquoi ça marche : une somme ou un produit garde la même limite que prévu.
Si les limites de f et de g valent f(a) et g(a), la somme suit la même règle.
Passons à un exemple complet, dans l'esprit du bac.
On étudie la fonction h définie par h de x égale x au carré plus 3 sur x moins 1.
On veut savoir où h est continue, sur quel ensemble de départ.
La fonction x au carré est continue sur tous les réels, c'est une fonction polynôme.
La fonction 3 sur x moins 1 est un quotient de fonctions continues.
Son dénominateur x moins 1 s'annule seulement quand x vaut 1.
Donc cette fonction quotient est continue partout sauf en x égale 1.
La droite verticale x égale 1 marque l'endroit interdit, où h n'est pas définie.
h est donc continue sur les réels privés de 1, en appliquant les règles des opérations.
Retiens ceci : la valeur absolue d'une fonction continue reste continue.
La somme, le produit de deux fonctions continues restent continus, sans condition.
Le quotient reste continu, sauf là où le dénominateur s'annule.
La fonction k de x égale 1 sur x au carré moins 4 est continue sur quel ensemble ?
3. Continuité de la fonction √f · Continuité à droite, à gauche
Troisième partie : la continuité de la fonction racine carrée de f.
Si f est continue en a, et positive ou nulle, alors racine de f est continue en a.
On prend f de x égale x plus 1, une droite qui monte.
Racine de f est bien définie là où f est positive ou nulle, donc à partir de moins 1.
Cette courbe racine se trace elle aussi sans lever le crayon.
Voici pourquoi : la racine carrée est elle-même continue, donc elle garde la continuité de f.
Passons maintenant à la continuité à droite et à gauche.
Continuité à droite, c'est-à-dire qu'on ne regarde que les valeurs de x plus grandes que a.
Continuité à gauche, autrement dit, on ne regarde que les valeurs de x plus petites que a.
f est continue en a seulement si elle est continue à droite et à gauche, avec la même valeur.
Passons à un exemple, proche de ce que demande le bac.
Soit f définie par x plus 2 si x est inférieur à 0, et racine de x plus 2 si x est supérieur ou égal à 0.
On étudie la continuité de f en 0.
D'abord, f de 0 avec la deuxième formule, car 0 est supérieur ou égal à 0.
f de 0 vaut racine de 0 plus 2, c'est-à-dire racine de 2.
Ensuite, la limite à gauche de f en 0, avec la première formule, x plus 2.
Quand x tend vers 0 par valeurs négatives, x plus 2 tend vers 2.
La limite à droite, avec racine de x plus 2, tend aussi vers racine de 2.
Mais 2 et racine de 2 ne sont pas égaux, les deux limites diffèrent.
f n'est donc pas continue en 0, car la limite à gauche ne vaut pas f de 0.
Retiens bien ceci : racine de f reste continue là où f est continue et positive.
La continuité en a exige l'égalité des limites à droite et à gauche avec f de a.
Une fonction vaut x au carré si x inférieur à 1, et 2x si x supérieur ou égal à 1, en 1 : continuité à gauche égale continuité à droite ?
4. Continuité sur un intervalle
Quatrième partie : la continuité sur un intervalle.
Continuité sur un intervalle, c'est-à-dire que f est continue en chaque réel de cet intervalle.
Sa courbe se trace d'un seul geste, du début à la fin de l'intervalle.
Cette fonction est continue sur l'intervalle des réels supérieurs ou égaux à moins 1.
Sur un intervalle fermé, comme a et b, on ajoute la continuité à droite en a, et à gauche en b.
Aux bords de l'intervalle, on ne regarde qu'un seul côté, car l'autre côté n'existe pas.
Voici pourquoi cette notion est utile : elle garantit une courbe sans coupure sur toute une zone.
Un contre-exemple : une fonction avec un trou n'est continue sur aucun intervalle qui contient ce trou.
On étudie f de x égale x moins 1 sur x moins 2, sur l'intervalle de 3 à l'infini.
On veut montrer que f est continue sur cet intervalle.
f est un quotient de deux fonctions polynômes, donc continues sur tous les réels.
Le dénominateur x moins 2 s'annule seulement en x égale 2.
Sur l'intervalle de 3 à l'infini, x reste toujours plus grand que 2, le dénominateur ne s'annule jamais.
Donc f est continue en tout point de cet intervalle, sans aucune exception.
f est bien continue sur l'intervalle de 3 à plus l'infini.
Retiens ceci : être continue sur un intervalle veut dire l'être en chaque point de cet intervalle.
Aux bornes fermées, on utilise la continuité à droite ou à gauche, selon le côté concerné.
Un quotient reste continu partout où son dénominateur ne s'annule pas.
La fonction x sur x plus 1 est-elle continue sur l'intervalle de 0 à 10 ?
5. Image d'un intervalle par une fonction continue
Cinquième partie : l'image d'un intervalle par une fonction continue.
Image d'un intervalle, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les valeurs que prend f sur cet intervalle.
Si f est continue sur un intervalle fermé a, b, son image est aussi un intervalle fermé.
Les bornes de l'image sont les valeurs minimale et maximale que f atteint.
Ici, f va de a égale 0 à b égale 4, et l'image est l'intervalle de f(a) à f(b).
Si f est strictement croissante, l'image de l'intervalle a, b est l'intervalle de f(a) à f(b).
Si f est strictement décroissante, c'est l'inverse : l'image va de f(b) à f(a).
Voici pourquoi ce résultat tient : une courbe continue ne saute aucune valeur entre son minimum et son maximum.
Elle passe forcément par chaque valeur intermédiaire, sans en sauter aucune.
C'est ce qu'on appelle le théorème des valeurs intermédiaires, une conséquence directe de la continuité.
Passons à un exemple, dans l'esprit d'un exercice du bac.
Soit f de x égale moins x au carré plus 4x, sur l'intervalle de 0 à 3.
On veut déterminer l'image de cet intervalle par f.
f est un polynôme, donc continue sur l'intervalle de 0 à 3, sans problème.
On calcule f de 0, qui vaut 0, et f de 3, qui vaut moins 9 plus 12, soit 3.
Mais f n'est pas monotone sur tout l'intervalle : elle monte puis redescend.
Le sommet de la parabole est en x égale 2, où f de 2 vaut 4.
Donc le maximum de f sur l'intervalle est 4, atteint en x égale 2.
Le minimum est la plus petite valeur entre f(0) égale 0 et f(3) égale 3, donc 0.
L'image de l'intervalle de 0 à 3 par f est donc l'intervalle de 0 à 4.
Retiens bien ceci : l'image d'un intervalle par une fonction continue est encore un intervalle.
Quand f est monotone, les bornes de l'image viennent directement des bornes de départ.
Sinon, il faut chercher le minimum et le maximum de f sur l'intervalle entier.
f de x égale x au carré sur l'intervalle de moins 2 à 1 : quelle est son image ?
6. Résolution d'équations de la forme f(x) = k · dichotomie
Sixième partie : la résolution d'équations de la forme f(x) égale k.
On veut savoir si une équation comme f(x) égale k a une solution, et combien.
Si f est continue sur a, b, et que k est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation a une solution.
C'est le théorème des valeurs intermédiaires, déjà vu avec l'image d'un intervalle.
Si en plus f est strictement monotone, cette solution est unique sur l'intervalle.
Regarde la droite horizontale k, elle coupe la courbe une seule fois si f est monotone.
Voici pourquoi ça marche : une courbe continue et monotone ne peut croiser une horizontale qu'une fois.
Passons à la dichotomie, une méthode pour approcher cette solution.
Dichotomie, c'est-à-dire qu'on coupe à chaque étape l'intervalle en deux pour se rapprocher de la solution.
On regarde le signe de f au milieu de l'intervalle, et on garde la moitié qui contient la solution.
Soit f de x égale x au cube plus x moins 1, sur l'intervalle de 0 à 1.
f est continue et strictement croissante, donc f(x) égale 0 a une solution unique.
f de 0 vaut moins 1, et f de 1 vaut 1, donc 0 est bien entre les deux.
On calcule f au milieu, en 0{,}5 : f de 0{,}5 vaut moins 0{,}375, encore négatif.
La solution est donc entre 0{,}5 et 1, on garde cette moitié.
step: {"n":1,"text":"f(0)<0, f(1)>0 : solution dans [0,1]"}
On recommence au milieu de 0{,}5 et 1, en 0{,}75 : f de 0{,}75 vaut environ 0{,}17, positif.
step: {"n":2,"text":"f(0{,}5)<0, f(1)>0 : solution dans [0{,}5,1]"}
La solution est maintenant entre 0{,}5 et 0{,}75, l'intervalle rétrécit à chaque étape.
step: {"n":3,"text":"f(0{,}5)<0, f(0{,}75)>0 : solution dans [0{,}5,0{,}75]"}
En répétant ce découpage, on approche la solution avec la précision qu'on veut.
Retiens bien ceci : le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'une solution.
La monotonie stricte de f garantit que cette solution est unique.
La dichotomie coupe l'intervalle en deux à chaque étape pour approcher cette solution.
Pour f de x égale x au cube moins 2 sur l'intervalle de 1 à 2, quelle est la première moitié à garder ?
Voilà, tout le chapitre de la continuité est posé, de la définition en un point jusqu'à la dichotomie.
Reprends les exemples, surtout ceux des fonctions définies par morceaux, c'est ce que le bac demande souvent.
Tu as maintenant tous les outils pour aborder les exercices de continuité avec confiance.