درس نور
الدراسة الحركية لجسم صلب في حركة انسحاب
اليوم، الفصل كاملا: « الدراسة الحركية لجسم صلب في حركة انسحاب »، العلوم الفيزيائية, السنة الثالثة ثانوي، شعبة الرياضيات.
ما تقوله نور
1. حركة الانسحاب ومتجهة الموضع
اليوم، الفصل كاملا: « الدراسة الحركية لجسم صلب في حركة انسحاب »، العلوم الفيزيائية, السنة الثالثة ثانوي، شعبة الرياضيات.
سندرس في هذا الفصل كيف نصف حركة جسم صلب ينسحب، خطوة بخطوة، بالمتجهات والمعادلات.
نبدأ بحركة الانسحاب، وهي حركة كل نقاط الجسم الصلب تتحرك بنفس الطريقة تماما.
أي أن كل نقطتين من الجسم، المتجهة الرابطة بينهما تبقى ثابتة في الاتجاه والطول طوال الحركة.
لنرسم جسما صلبا في وضعين مختلفين لنلاحظ هذا السلوك.
هنا النقطة A والنقطة B في الوضع الأول.
والآن ننقل الجسم كاملا إلى وضع ثان بعد مدة زمنية قصيرة.
النقطتان A و B أصبحتا في مكانين جديدين، لكن المتجهة AB لم تتغير.
لوصف موضع نقطة من الجسم في أي لحظة، نستعمل متجهة الموضع.
أي أنها المتجهة التي تصل من نقطة مرجعية ثابتة O إلى موضع النقطة المتحركة M.
نكتبها هكذا، متجهة OM، وهي تتغير مع الزمن لأن M تتحرك.
في لحظة لاحقة، تكون النقطة M في موضع آخر، ومتجهة الموضع تتغير معها.
نكتب متجهة الموضع بدلالة إحداثياتها x و y في المعلم، مثلما فعلنا في الرياضيات.
المسار هو مجموعة كل المواضع المتتالية التي تمر بها النقطة M خلال حركتها.
هنا نرى أن مسار النقطة مستقيم، وهذا سيفيدنا في الأجزاء القادمة.
نأخذ الآن مثالا من تمارين البكالوريا لنطبق هذه الفكرة.
جسيم M يتحرك في معلم متعامد ومتجانس، إحداثياه معطيان بدلالة الزمن.
نريد كتابة متجهة الموضع عند اللحظة t، ثم حسابها عند اللحظة t تساوي 2 ثانية.
متجهة الموضع تكتب مباشرة انطلاقا من الإحداثيتين المعطاتين.
عند اللحظة t تساوي 2 ثانية، نعوض في الصيغتين لإيجاد قيمتي x و y.
نرسم هذا الموضع على المعلم كنقطة بإحداثيات 7 متر و3 متر.
هكذا نكون قد وصفنا موضع الجسيم بدقة في لحظة محددة باستعمال متجهة الموضع.
هذا المفهوم هو الأساس الذي سنبني عليه بقية الفصل.
ما هو تعريف متجهة الموضع لنقطة متحركة M؟
2. الفاصلة المنحنية والسرعة
ننتقل الآن إلى فكرة جديدة تساعدنا على تحديد موضع نقطة على مسارها.
نسمي هذه الفكرة الفاصلة المنحنية، ونرمز لها بالحرف s.
أي أنها المسافة المقاسة على المسار نفسه، من نقطة مرجعية إلى موضع النقطة M.
نرسم مسارا منحنيا، ونختار عليه نقطة أصل ثابتة نسميها O.
النقطة M تتحرك على هذا المسار، وتبعد عن O بمسافة محسوبة على المنحنى.
نكتب الفاصلة المنحنية s عند اللحظة t، وهي دالة في الزمن كما رأينا مع متجهة الموضع.
من الفاصلة المنحنية نستنتج السرعة الخطية للنقطة M خلال حركتها.
أي أن السرعة هي مشتقة الفاصلة المنحنية بالنسبة للزمن، وتقاس بالمتر على الثانية.
السرعة في كل نقطة من المسار تكون مماسة لهذا المسار في تلك النقطة.
أي أن متجهة السرعة تلامس المنحنى عند M، ولا تقطعه، وتشير في اتجاه الحركة.
كلما تحركت النقطة بسرعة أكبر، كانت الفاصلة المنحنية تتغير بسرعة أكبر مع الزمن.
في حالة السرعة الثابتة، تتغير الفاصلة المنحنية بانتظام مع الزمن.
نأخذ الآن مثالا من تمارين البكالوريا لنطبق هذا المفهوم.
جسيم يتحرك على مسار مستقيم، وفاصلته المنحنية معطاة بالعلاقة التالية بدلالة الزمن.
نريد حساب السرعة v عند اللحظة t، ثم قيمتها عند اللحظة t تساوي 3 ثوان.
نشتق الفاصلة المنحنية بالنسبة للزمن، فنحصل على عبارة السرعة v(t).
الآن نعوض اللحظة t تساوي 3 ثوان في عبارة السرعة التي وجدناها.
هكذا نجد السرعة اللحظية للجسيم عند هذه اللحظة بالضبط.
السرعة هنا متغيرة مع الزمن، لأن عبارتها تحتوي على t.
احتفظ بهذه العلاقة بين الفاصلة المنحنية ومشتقتها، فهي أساس ما يأتي بعدها.
كيف نحسب السرعة انطلاقا من الفاصلة المنحنية؟
3. التسارع: المركبتان الناظمية والمماسية
ننتقل الآن إلى التسارع، وهو الكمية التي تصف كيف تتغير السرعة مع الزمن.
على مسار منحني، للتسارع مركبتان مختلفتان، ولكل منهما معنى خاص بها.
نرسم مسارا منحنيا، ونختار عليه نقطة M في لحظة معينة.
المركبة الأولى تسمى التسارع المماسي، ونرمز لها بـ a مع دليل t.
أي أنها المركبة التي تقيس تغير قيمة السرعة فقط، أي سرعتها تزيد أو تنقص.
هذه المركبة موازية للسرعة، على نفس خط المماس للمسار عند النقطة M.
المركبة الثانية تسمى التسارع الناظمي، ونرمز لها بـ a مع دليل n.
أي أنها المركبة التي تقيس تغير اتجاه السرعة، أي انحناء المسار نفسه.
هذه المركبة عمودية على السرعة، وتتجه دائما نحو داخل المنحنى.
الحرف R هنا هو شعاع انحناء المسار عند تلك النقطة، ويقاس بالمتر.
التسارع الكلي هو مجموع هاتين المركبتين، تماسية وناظمية، كمتجهتين.
في حالة الحركة المستقيمة، لا يتغير اتجاه السرعة، فيكون التسارع الناظمي منعدما.
نأخذ الآن مثالا من تمارين البكالوريا لنطبق هاتين المركبتين.
جسيم يتحرك على مسار دائري نصف قطره R يساوي 2 متر، بسرعة تتغير مع الزمن.
نريد حساب المركبتين الناظمية والمماسية للتسارع عند اللحظة t تساوي 2 ثانية.
التسارع المماسي هو مشتقة السرعة بالنسبة للزمن، وهو هنا قيمة ثابتة.
أما التسارع الناظمي، فنحسبه بقسمة مربع السرعة على شعاع الانحناء R.
نعوض السرعة عند اللحظة t تساوي 2 ثانية، ونقسم مربعها على R.
هكذا نجد قيمتي المركبتين، ونتذكر أن التسارع الكلي هو مجموعهما كمتجهتين.
ماذا تقيس كل من المركبة الناظمية والمركبة المماسية للتسارع؟
4. الحركة المستقيمة المتغيرة بانتظام
ننتقل الآن إلى نوع خاص من الحركة المستقيمة، يتكرر كثيرا في تمارين البكالوريا.
نسمي هذه الحركة الحركة المستقيمة المتغيرة بانتظام.
أي أن مسار الجسم مستقيم، وتسارعه المماسي يبقى ثابتا طوال الحركة.
بما أن المسار مستقيم، فإن التسارع الناظمي منعدم دائما في هذه الحركة.
السرعة في هذه الحركة تتغير بانتظام مع الزمن، إما تزيد أو تنقص خطيا.
نكتب عبارة السرعة بدلالة الزمن، فتظهر كدالة من الدرجة الأولى في t.
إذا كانت السرعة تزداد مع الزمن، نقول إن الحركة متسارعة.
وإذا كانت السرعة تتناقص مع الزمن حتى تصل إلى الصفر، نقول إن الحركة متباطئة.
الفاصلة المنحنية بدورها تتغير بانتظام، فتكون دالة من الدرجة الثانية في الزمن.
هذه العلاقة نحصل عليها مباشرة من تكامل عبارة السرعة بالنسبة للزمن.
نأخذ الآن مثالا من تمارين البكالوريا لنطبق هذه الحركة.
سيارة تنطلق من السكون بتسارع ثابت a يساوي 2 متر على الثانية مربع.
نريد حساب سرعة السيارة، ثم المسافة المقطوعة، عند اللحظة t تساوي 5 ثوان.
نستعمل عبارة السرعة التي رأيناها، مع سرعة ابتدائية منعدمة.
نعوض اللحظة t تساوي 5 ثوان في عبارة السرعة التي كتبناها.
الآن نحسب المسافة المقطوعة بتعويض نفس اللحظة في عبارة الفاصلة المنحنية.
هكذا نجد السرعة والمسافة معا، باستعمال نفس العلاقتين الأساسيتين في هذه الحركة.
احتفظ بهاتين العلاقتين، فهما أساس كل تمارين الحركة المتغيرة بانتظام.
ماذا يبقى ثابتا في الحركة المستقيمة المتغيرة بانتظام؟
5. الحركة المستقيمة الجيبية
ننتقل الآن إلى آخر نوع من الحركات في هذا الفصل.
نسمي هذه الحركة الحركة المستقيمة الجيبية.
أي أن الجسم يتحرك على مسار مستقيم، وفاصلته المنحنية تتغير حسب دالة جيبية في الزمن.
نكتب عبارة الفاصلة المنحنية بدلالة الزمن بهذا الشكل العام.
الحرف S مع دليل m يسمى السعة، وهو أكبر فاصلة منحنية يبلغها الجسم.
الحرف أوميغا يسمى النبض، ويقاس بالراديان على الثانية.
الحرف فاي هو الطور عند اللحظة صفر، ويقاس بالراديان.
الحركة هنا متكررة، فالجسم يتذبذب جيئة وذهابا حول نقطة التوازن باستمرار.
السرعة في هذه الحركة هي مشتقة الفاصلة المنحنية، فتصبح أيضا دالة جيبية.
والتسارع المماسي هو مشتقة السرعة، ويرتبط بالفاصلة المنحنية بعلاقة مميزة لهذه الحركة.
هذه العلاقة الأخيرة هي العلامة المميزة لكل حركة مستقيمة جيبية.
نأخذ الآن مثالا من تمارين البكالوريا لنطبق هذه الحركة.
جسيم يتحرك حركة مستقيمة جيبية، فاصلته المنحنية معطاة بالعلاقة التالية.
نريد تحديد السعة والنبض، ثم كتابة عبارة السرعة بدلالة الزمن.
بالمطابقة مع الشكل العام، نجد السعة ونجد النبض مباشرة من العبارة المعطاة.
السرعة هي مشتقة الفاصلة المنحنية، فنشتق الدالة الجيبية المعطاة بالنسبة للزمن.
هكذا نجد عبارة السرعة كاملة، وهي أيضا دالة جيبية بنفس النبض.
بهذا نكون قد أنهينا دراسة الحركات المستقيمة الخاصة في هذا الفصل.
ما العلاقة المميزة بين التسارع المماسي والفاصلة المنحنية في الحركة الجيبية؟
بهذا نكون قد أنهينا دراسة الحركة الانسحابية لجسم صلب، من متجهة الموضع إلى الحركة الجيبية.
احتفظ بالعلاقات الأساسية بين الفاصلة المنحنية والسرعة والتسارع، فهي مفتاح كل التمارين.
تدرب على التمرينين المقترحين لتثبيت هذه المفاهيم قبل الفصل القادم.