Leçon de Nour
Étude cinématique d’un solide en translation
Aujourd'hui, tout le chapitre « Etude cinématique d'un solide en mouvement de translation », en Sciences physiques, troisième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Vecteur position et trajectoire
Aujourd'hui, tout le chapitre « Etude cinématique d'un solide en mouvement de translation », en Sciences physiques, troisième année, section Mathématiques.
On va construire ce chapitre petit à petit, avec des schémas à chaque étape.
On commence par le vecteur position, puis on avance jusqu'aux mouvements rectilignes particuliers.
Première section : le vecteur position et la trajectoire.
On étudie un solide en translation, c'est-à-dire que tous ses points bougent exactement de la même façon.
Pour repérer ce solide, on choisit un point précis dessus, qu'on appelle le point M.
On fixe aussi une origine O, fixe, dans le repère.
Le point M, lui, bouge au cours du temps.
Le vecteur position, c'est le vecteur qui part de O et qui arrive jusqu'à M.
Autrement dit, ce vecteur donne à chaque instant la position exacte du solide.
On le note avec une flèche : vecteur OM, en fonction du temps t.
Quand le point M se déplace, il dessine un chemin dans l'espace.
Ce chemin s'appelle la trajectoire du solide.
Traçons la trajectoire comme une courbe que suit le point M au cours du temps.
La trajectoire peut être une droite, un cercle, ou une courbe plus compliquée.
Voici pourquoi on a besoin du vecteur position.
Sans lui, on ne peut pas savoir où se trouve le solide à un instant donné.
Le vecteur position change de direction et de longueur selon la trajectoire suivie.
Si la trajectoire est une droite, le vecteur OM reste toujours sur cette droite.
Si la trajectoire est un cercle, le vecteur OM garde une longueur constante, le rayon.
Prenons un exemple concret, inspiré du bac.
Un solide ponctuel se déplace sur un axe horizontal, avec une origine O.
À l'instant t, son abscisse x vaut deux fois t, en mètres, avec t en secondes.
Calculons la position du solide à l'instant t égal trois secondes.
On remplace t par trois secondes dans la formule.
Le solide se trouve donc à six mètres de l'origine O, à cet instant.
Le vecteur position OM a alors pour longueur six mètres, sur cet axe horizontal.
La trajectoire de ce solide est simplement la droite de l'axe horizontal.
C'est un mouvement rectiligne, car la trajectoire est une droite.
Retenons l'essentiel de cette première partie.
Le vecteur position relie l'origine fixe O au point mobile M, à chaque instant.
La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par ce point M.
Connaître le vecteur position à chaque instant, c'est connaître tout le mouvement du solide.
Qu'est-ce que la trajectoire d'un solide en mouvement ?
2. Abscisse curviligne et vitesse
Deuxième section : l'abscisse curviligne et la vitesse.
Imaginons un solide qui se déplace le long d'une trajectoire courbe, fixée à l'avance.
Sur cette trajectoire, on choisit une origine des distances, le point A.
On choisit aussi un sens positif pour avancer le long de cette trajectoire.
Place le point M, position du solide à l'instant t, sur cette trajectoire.
La distance mesurée le long de la courbe, entre A et M, s'appelle l'abscisse curviligne.
Autrement dit, c'est la longueur du chemin parcouru sur la trajectoire, avec un signe.
On la note s de t, elle s'exprime en mètres.
Voici pourquoi cette grandeur est utile : elle transforme un problème de courbe en problème de droite.
Même si la trajectoire tourne, s avance toujours simplement, comme une distance le long d'un fil.
La vitesse du solide, c'est la rapidité avec laquelle l'abscisse curviligne change dans le temps.
On l'obtient en dérivant s par rapport au temps.
Cette vitesse s'exprime en mètres par seconde, notée m/s.
Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire, au point M.
Il pointe dans le sens du mouvement, à cet instant précis.
Prenons un exemple chiffré, comme au bac.
Un solide parcourt une piste courbe, son abscisse curviligne vaut s de t égale trois t au carré.
On veut la vitesse du solide à l'instant t égal deux secondes.
On dérive s par rapport à t : la vitesse vaut six fois t.
On remplace t par deux secondes dans cette expression.
La vitesse du solide vaut donc douze mètres par seconde, à cet instant.
Cette vitesse est positive, donc le solide avance dans le sens choisi comme positif.
Retenons les points clés de cette section.
L'abscisse curviligne mesure la distance parcourue le long de la trajectoire, depuis une origine.
La vitesse est la dérivée de cette abscisse curviligne par rapport au temps.
Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement.
Dans quelle direction pointe toujours le vecteur vitesse d'un solide ?
3. Accélération tangentielle et normale
Troisième section : l'accélération tangentielle et l'accélération normale.
La vitesse d'un solide peut changer de deux façons différentes, au cours du temps.
Elle peut changer de valeur, ou changer de direction, ou les deux à la fois.
L'accélération mesure justement cette variation de la vitesse.
Plaçons un point M sur une trajectoire courbe, avec son vecteur vitesse tangent.
Le vecteur accélération se décompose toujours en deux parties, utiles pour l'étudier.
La première partie s'appelle l'accélération tangentielle.
Autrement dit, c'est la partie de l'accélération qui fait varier la valeur de la vitesse.
Elle est dirigée le long de la tangente à la trajectoire, comme la vitesse.
Si la vitesse augmente, l'accélération tangentielle pointe dans le même sens que la vitesse.
La seconde partie s'appelle l'accélération normale.
Autrement dit, c'est la partie de l'accélération qui fait tourner la direction de la vitesse.
Elle est toujours perpendiculaire à la vitesse, dirigée vers l'intérieur de la courbe.
Voici pourquoi ces deux parties existent.
Sur une ligne droite, la direction ne change jamais, donc l'accélération normale est nulle.
Sur un cercle à vitesse constante, seule la direction change, donc l'accélération tangentielle est nulle.
L'accélération tangentielle vaut la dérivée de la vitesse par rapport au temps.
L'accélération normale vaut la vitesse au carré, divisée par le rayon de courbure R.
Prenons un exemple, comme au bac.
Un solide roule sur une piste circulaire de rayon R égal deux mètres.
Sa vitesse est constante, elle vaut quatre mètres par seconde.
Comme la vitesse est constante, l'accélération tangentielle est nulle, en mètres par seconde carrée.
Calculons l'accélération normale avec la formule v au carré sur R.
L'accélération normale vaut huit mètres par seconde carrée, dirigée vers le centre de la piste.
Retenons l'essentiel de cette section.
L'accélération tangentielle change la valeur de la vitesse, l'accélération normale change sa direction.
Sur une trajectoire rectiligne, l'accélération normale est toujours nulle.
Que vaut l'accélération normale sur une trajectoire parfaitement rectiligne ?
4. Mouvement rectiligne uniformément varié
Quatrième section : le mouvement rectiligne uniformément varié.
Ce mouvement porte un nom précis dans le manuel, qu'il faut bien comprendre.
C'est-à-dire un mouvement sur une droite, où l'accélération reste constante tout le temps.
Rectiligne veut dire que la trajectoire est une droite, donc l'accélération normale est nulle.
Uniformément varié veut dire que l'accélération tangentielle garde la même valeur, tout au long du mouvement.
Cette accélération constante est notée a, elle s'exprime en mètres par seconde carrée.
La vitesse ne reste pas constante, elle varie de façon linéaire avec le temps.
Ici v zéro est la vitesse initiale, à l'instant t égal zéro seconde.
La position du solide suit une loi en fonction du temps au carré.
Voici pourquoi la vitesse varie de façon linéaire.
Comme l'accélération est la dérivée de la vitesse, une accélération constante donne une droite pour v.
Si a est positif, le mouvement est accéléré, le solide va de plus en plus vite.
Si a est négatif, le mouvement est retardé, le solide ralentit progressivement.
Prenons un exemple chiffré, comme au bac.
Un solide part avec une vitesse initiale de deux mètres par seconde, à t égal zéro.
Son accélération constante vaut trois mètres par seconde carrée.
Calculons sa vitesse à l'instant t égal quatre secondes.
On remplace les valeurs : deux plus trois fois quatre.
La vitesse à cet instant vaut quatorze mètres par seconde.
Calculons maintenant sa position à ce même instant.
On calcule chaque terme : huit, plus la moitié de trois fois seize.
Le solide se trouve donc à trente-deux mètres de l'origine, à t égal quatre secondes.
Retenons les points essentiels de cette section.
Dans ce mouvement, l'accélération tangentielle reste constante et l'accélération normale est nulle.
La vitesse varie linéairement avec le temps, et la position varie avec le temps au carré.
Comment varie la vitesse dans un mouvement rectiligne uniformément varié ?
5. Mouvement rectiligne sinusoïdal
Cinquième section : le mouvement rectiligne sinusoïdal.
Ce mouvement porte lui aussi un nom précis, à bien comprendre.
C'est-à-dire un mouvement sur une droite, où la position oscille dans le temps, comme un va-et-vient.
Le solide avance, puis revient, encore et encore, de façon régulière.
Sa position suit une loi avec un cosinus, en fonction du temps.
On écrit x de t égale X_m fois cosinus de oméga t plus phi.
X_m est l'amplitude, la distance maximale atteinte de part et d'autre de l'origine, en mètres.
Oméga est la pulsation, elle s'exprime en radians par seconde.
Phi est la phase à l'origine, elle s'exprime en radians.
Voici pourquoi ce mouvement est particulier.
La vitesse et l'accélération suivent elles aussi des lois sinusoïdales, liées à la même pulsation.
La vitesse est la dérivée de la position, elle s'écrit avec un sinus.
L'accélération est la dérivée de la vitesse, elle redonne un cosinus, mais négatif.
L'accélération est donc toujours proportionnelle à la position, mais de signe opposé.
Prenons un exemple chiffré, comme au bac.
Un solide oscille avec une amplitude de cinq centimètres, soit zéro virgule zéro cinq mètre.
Sa pulsation vaut dix radians par seconde, et sa phase à l'origine est nulle.
Calculons la position du solide à l'instant t égal zéro virgule un seconde.
On calcule l'argument du cosinus : dix fois zéro virgule un, soit un radian.
Le solide se trouve donc à environ zéro virgule zéro deux sept mètre de l'origine.
Retenons l'essentiel de cette section.
Dans ce mouvement, la position, la vitesse et l'accélération sont toutes sinusoïdales, de même pulsation.
L'accélération est toujours proportionnelle à la position, avec un signe opposé.
Comment l'accélération est-elle liée à la position dans ce mouvement sinusoïdal ?
6. Synthèse : reconnaître un mouvement
Sixième et dernière section : comment reconnaître un mouvement.
On a vu plusieurs mouvements, il faut maintenant savoir les distinguer rapidement.
La première question à se poser : la trajectoire est-elle une droite ou une courbe.
Si la trajectoire est une courbe, l'accélération normale n'est pas nulle.
Si la trajectoire est une droite, l'accélération normale est nulle, et le mouvement est rectiligne.
Pour un mouvement rectiligne, on regarde ensuite comment varie l'accélération tangentielle.
Si l'accélération tangentielle est constante, c'est un mouvement rectiligne uniformément varié.
Si elle est nulle, la vitesse est constante, et le mouvement est rectiligne uniforme.
Si la position varie en cosinus avec le temps, c'est un mouvement rectiligne sinusoïdal.
Reprenons un exemple complet, comme au bac, pour appliquer cette méthode.
Un solide se déplace sur un rail rectiligne, sa vitesse croît régulièrement avec le temps.
La trajectoire est une droite, donc l'accélération normale est nulle.
La vitesse varie linéairement, donc l'accélération tangentielle est constante.
On conclut : c'est un mouvement rectiligne uniformément varié.
Retenons la méthode générale pour tout le chapitre.
On regarde d'abord la trajectoire, puis le comportement de l'accélération tangentielle, pour conclure.
Quelle grandeur regarde-t-on pour distinguer un mouvement rectiligne uniforme d'un mouvement uniformément varié ?
Voilà, on a parcouru tout le chapitre, du vecteur position jusqu'au mouvement sinusoïdal.
Garde bien en tête la méthode : trajectoire d'abord, puis comportement de l'accélération.
Entraîne-toi sur les deux exercices pour bien fixer ces notions avant le bac.