Leçon de Nour
Oscillations libres d’un pendule élastique
Aujourd'hui, tout le chapitre « Oscillations libres d’un pendule élastique », en Sciences physiques, quatrième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Le pendule élastique et la raideur du ressort
Aujourd'hui, tout le chapitre « Oscillations libres d’un pendule élastique », en Sciences physiques, quatrième année, section Mathématiques.
On va construire ça pas à pas, avec des schémas et un exemple chiffré à chaque fois.
Première section : le pendule élastique et la raideur du ressort.
Un pendule élastique, c'est un ressort fixé à un support, avec une masse accrochée à l'autre bout.
Autrement dit, c'est un objet qui peut osciller librement quand on l'écarte de sa position de repos.
Voici le ressort, accroché au support fixe, tout en haut.
Au bout du ressort, on fixe un solide de masse m, qui peut glisser sans frottement.
On repère la position du solide par x, mesuré depuis sa position d'équilibre.
Au repos, le solide est à l'origine, là où x vaut zéro.
Quand on tire ou on pousse le solide, il s'écarte d'une distance x.
Le ressort réagit alors avec une force qui le ramène vers sa position d'équilibre.
Cette force dépend d'une grandeur propre au ressort : la raideur du ressort, notée k.
La raideur, c'est une mesure de la résistance du ressort à s'étirer ou se comprimer.
Un ressort très raide résiste fort, et revient vite vers sa position d'équilibre.
Un ressort peu raide s'étire facilement, et revient plus lentement vers l'équilibre.
La raideur du ressort s'exprime en newtons par mètre, noté N/m.
La relation entre la force et l'allongement du ressort s'écrit F égale moins k fois x.
Le signe moins montre que la force s'oppose toujours au déplacement, elle rappelle vers l'équilibre.
Prenons un exemple concret pour bien comprendre la raideur du ressort.
On allonge un ressort de 4 centimètres sous l'action d'une force de 2 newtons.
On veut calculer la raideur k de ce ressort.
On utilise la relation F égale k fois x, en valeur absolue.
On convertit d'abord 4 centimètres en mètres, ce qui donne 0,04 mètre.
On divise alors la force par l'allongement : 2 newtons sur 0,04 mètre.
On trouve une raideur de 50 newtons par mètre pour ce ressort.
Plus cette valeur est grande, plus le ressort est difficile à étirer.
Retiens que la raideur k caractérise la rigidité du ressort, en newtons par mètre.
Elle relie la force exercée par le ressort à son allongement, par la loi F égale moins k x.
Que représente la raideur k d'un ressort ?
2. Relation fondamentale de la dynamique et équation différentielle
Deuxième section : la relation fondamentale de la dynamique et l'équation différentielle du mouvement.
On reprend le pendule élastique horizontal, avec le solide de masse m sur le ressort.
La relation fondamentale de la dynamique relie les forces appliquées à un solide et son accélération.
Autrement dit, la somme des forces sur le solide égale sa masse fois son accélération.
Le solide glisse horizontalement, sans frottement, repéré par x depuis sa position d'équilibre.
Deux forces agissent sur lui : son poids, et la réaction du support, qui s'annulent.
Reste la force du ressort, qui vaut moins k fois x, dirigée vers l'équilibre.
On applique la relation fondamentale de la dynamique au solide, selon l'axe du mouvement.
L'accélération a est la dérivée seconde de la position x par rapport au temps.
On remplace a par x deux points dans la relation fondamentale de la dynamique.
On range tous les termes du même côté pour obtenir l'équation différentielle du mouvement.
Cette équation différentielle décrit complètement le mouvement du pendule élastique, à tout instant.
Voici pourquoi cette forme est si importante pour la suite du chapitre.
Le rapport k sur m est toujours positif, car k et m sont positifs.
On pose alors oméga zéro au carré égal à k sur m.
L'équation différentielle s'écrit alors x deux points plus oméga zéro carré fois x égale zéro.
On garde cette forme en tête, elle reviendra dans toute la suite du chapitre.
Prenons un exemple pour établir cette équation différentielle avec des valeurs précises.
Un pendule élastique horizontal a une masse de 200 grammes et une raideur de 20 newtons par mètre.
On veut écrire l'équation différentielle et calculer oméga zéro.
On convertit d'abord la masse en kilogrammes : 200 grammes égale 0,2 kilogramme.
On calcule oméga zéro au carré, en divisant k par m.
On trouve oméga zéro au carré égal à 100 radians carrés par seconde carrée.
On prend la racine carrée pour obtenir oméga zéro lui-même.
Oméga zéro vaut 10 radians par seconde pour ce pendule élastique.
L'équation différentielle de ce pendule s'écrit alors avec cette valeur d'oméga zéro.
Retiens que la relation fondamentale de la dynamique donne l'équation différentielle du mouvement.
Cette équation s'écrit toujours x deux points plus oméga zéro carré fois x égale zéro.
Et oméga zéro au carré vaut toujours k divisé par m.
Comment s'écrit l'équation différentielle du pendule élastique avec oméga zéro ?
3. Oscillations libres non amorties
Troisième section : les oscillations libres non amorties.
Les oscillations libres non amorties, c'est le mouvement d'un pendule élastique sans aucun frottement.
Autrement dit, le solide oscille indéfiniment, avec toujours la même amplitude, sans jamais s'arrêter.
On a vu que x vérifie l'équation différentielle x deux points plus oméga zéro carré x égale zéro.
La solution de cette équation est une fonction sinusoïdale du temps.
X_m est l'amplitude maximale, oméga zéro la pulsation propre, et phi la phase à l'origine.
Ces trois grandeurs décrivent complètement le mouvement du solide à chaque instant.
La période propre T zéro est la durée d'une oscillation complète du pendule élastique.
Voici pourquoi le mouvement se répète toujours à l'identique sans amortissement.
Aucune force de frottement n'enlève d'énergie au système au cours du temps.
Le mouvement garde donc la même amplitude, à chaque oscillation, indéfiniment.
X_m et phi dépendent des conditions initiales, c'est-à-dire la position et la vitesse au départ.
Prenons un exemple pour déterminer complètement cette solution x de t.
On reprend le pendule élastique précédent, avec oméga zéro égal à 10 radians par seconde.
À l'instant initial, on écarte le solide de 3 centimètres, sans vitesse initiale.
On veut déterminer l'amplitude X_m et la phase phi du mouvement.
On convertit d'abord 3 centimètres en mètres, ce qui donne 0,03 mètre.
À l'instant zéro, la vitesse est nulle, donc le solide est au maximum de son écart.
Cela donne phi égal à zéro radian, comme phase à l'origine.
Avec phi nul, x de zéro vaut X_m fois cosinus de zéro, donc X_m.
L'amplitude X_m vaut donc 0,03 mètre, soit 3 centimètres.
Le mouvement s'écrit x de t égal 0,03 fois cosinus de 10 t.
Retiens que les oscillations libres non amorties suivent toujours une loi sinusoïdale du temps.
Cette loi s'écrit x de t égale X_m fois cosinus de oméga zéro t plus phi.
Les conditions initiales fixent les valeurs de X_m et de phi pour chaque pendule.
Quelle est la forme générale de x(t) pour des oscillations libres non amorties ?
4. Régimes pseudopériodique et apériodique
Quatrième section : les régimes pseudopériodique et apériodique.
Ces régimes décrivent le mouvement amorti, c'est-à-dire un mouvement dont l'amplitude diminue peu à peu.
Ici, le frottement n'est plus nul, il freine le solide et lui enlève de l'énergie.
Quand le frottement est faible, le solide oscille encore, mais avec une amplitude qui décroît.
On appelle ça le régime pseudopériodique, car le mouvement ressemble à des oscillations, presque périodiques.
Quand le frottement est très fort, le solide revient à l'équilibre sans aucune oscillation.
On appelle ça le régime apériodique, car il n'y a plus d'allers-retours du tout.
Voici pourquoi la force de frottement est responsable de cette perte d'amplitude au cours du temps.
Plus le frottement est intense, plus le retour à l'équilibre devient rapide, sans oscillation.
Entre les deux régimes, il existe un cas limite, appelé le régime critique.
Dans ce cas, le solide revient le plus vite possible à l'équilibre, sans osciller.
Prenons un exemple pour reconnaître ces régimes à partir d'une observation.
On lâche un pendule élastique amorti depuis une position écartée, sans vitesse initiale.
Le solide revient directement à sa position d'équilibre, en 2 secondes, sans aucune oscillation.
On regarde si le solide oscille, ou s'il revient directement à l'équilibre.
Ici, aucune oscillation n'est observée, le solide revient directement vers sa position de repos.
On conclut que ce mouvement correspond à un régime apériodique.
Retiens que le régime pseudopériodique garde des oscillations, mais avec une amplitude qui diminue.
Le régime apériodique n'a plus aucune oscillation, le solide revient directement à l'équilibre.
Comment distingue-t-on un régime pseudopériodique d'un régime apériodique ?
5. L'énergie totale et sa conservation
Cinquième section : l'énergie totale et sa conservation.
L'énergie totale et sa conservation, c'est l'idée que l'énergie du pendule élastique reste constante sans frottement.
Le solide possède une énergie cinétique, liée à sa vitesse, et une énergie potentielle élastique, liée à l'allongement du ressort.
L'énergie totale est la somme de ces deux énergies, à chaque instant du mouvement.
Sans frottement, cette énergie totale ne change jamais au cours du temps.
Voici pourquoi l'énergie cinétique et l'énergie potentielle élastique se transforment sans cesse l'une en l'autre.
Quand le solide passe par l'équilibre, sa vitesse est maximale, et son énergie potentielle est nulle.
Quand le solide est à l'amplitude maximale, sa vitesse s'annule, et l'énergie potentielle est maximale.
L'énergie totale, elle, reste toujours la même entre ces deux instants du mouvement.
Prenons un exemple pour calculer cette énergie totale avec des valeurs précises.
On reprend un pendule élastique de raideur 40 newtons par mètre, d'amplitude 3 centimètres.
On veut calculer l'énergie totale de ce pendule, à l'instant où la vitesse est nulle.
À l'amplitude maximale, la vitesse est nulle, donc l'énergie cinétique est nulle aussi.
On convertit d'abord l'amplitude en mètres : 3 centimètres égale 0,03 mètre.
On calcule l'énergie potentielle élastique avec un demi fois k fois X_m au carré.
Ce calcul donne une énergie totale égale à 0,018 joules.
L'énergie totale de ce pendule élastique vaut donc 0,018 joule.
Cette valeur reste la même à tout instant, tant qu'il n'y a pas de frottement.
Retiens que l'énergie totale est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle élastique.
Sans frottement, cette énergie totale reste constante, elle se conserve tout au long du mouvement.
Elle se calcule facilement à l'amplitude maximale, où toute l'énergie est potentielle élastique.
Comment varie l'énergie totale d'un pendule élastique non amorti au cours du temps ?
Voilà, tout le chapitre sur le pendule élastique est posé, de la raideur du ressort jusqu'à l'énergie totale.
Entraîne-toi avec les deux exercices, ils reprennent exactement les idées qu'on vient de voir.