Leçon de Nour
Oscillations électriques libres
Aujourd'hui, tout le chapitre « Oscillations électriques libres », en Sciences physiques, quatrième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Le circuit RLC série
Aujourd'hui, tout le chapitre « Oscillations électriques libres », en Sciences physiques, quatrième année, section Mathématiques.
On va construire le circuit, observer les oscillations, suivre l'énergie, puis s'entraîner sur un exercice type bac.
Commençons par le circuit RLC série.
Le circuit RLC série, c'est-à-dire un condensateur, une bobine et un résistor branchés l'un après l'autre.
Tu connais déjà le condensateur, qui stocke une charge, et la bobine, qui s'oppose aux variations de courant.
Ici on les associe en série avec un résistor, sans générateur branché en permanence.
On charge d'abord le condensateur avec un générateur, puis on bascule l'interrupteur vers la bobine et le résistor.
Le condensateur se décharge alors tout seul à travers la bobine et le résistor.
On appelle cela des oscillations libres, car rien ne les entretient depuis l'extérieur.
La charge q du condensateur varie alors avec le temps, de façon périodique.
Voici pourquoi le phénomène se produit : le condensateur rend son énergie, la bobine la récupère, puis la renvoie.
L'énergie électrique se transforme en énergie magnétique dans la bobine, puis revient, comme un aller-retour.
Si le résistor était absent, cet échange durerait indéfiniment, sans aucune perte.
Mais ici, le résistor R dissipe de l'énergie par effet Joule à chaque instant.
Prenons un exercice type bac pour fixer les idées sur ce circuit.
Un condensateur de capacité C égale à 1 microfarad est chargé sous une tension de 6 volts.
On le branche ensuite à une bobine d'inductance L égale à 0,2 henry et à un résistor R.
On demande la charge initiale q zéro stockée dans le condensateur, à l'instant du basculement.
On utilise la relation entre charge et tension : q égale C fois U.
On calcule : un microfarad fois six volts donne six microcoulombs.
Cette charge q zéro est la condition de départ des oscillations libres.
Ensuite on représente le circuit complet, avec le condensateur, la bobine et le résistor en série.
À l'instant du basculement, le courant i est nul et la charge vaut q zéro.
Le résistor R fixe la vitesse à laquelle l'énergie disparaît au fil du temps.
Plus R est grand, plus les oscillations s'amortissent vite, comme on le verra bientôt.
Retiens que le circuit RLC série associe condensateur, bobine et résistor, sans générateur permanent.
La charge initiale du condensateur, donnée par q égale C fois U, lance les oscillations libres.
Le résistor, lui, est responsable de la dissipation d'énergie dans ce circuit.
Dans un circuit RLC série, quel composant dissipe de l'énergie par effet Joule ?
2. Oscillations libres amorties
Passons aux oscillations libres amorties.
Les oscillations libres amorties, c'est-à-dire des oscillations dont l'amplitude diminue peu à peu avec le temps.
Dans le circuit RLC série, la charge q du condensateur varie en oscillant, mais de moins en moins fort.
On observe la courbe de q en fonction du temps t, une sinusoïde qui s'écrase peu à peu.
L'équation différentielle qui gouverne q contient un terme en R, qui amortit le mouvement.
Voici pourquoi l'amplitude baisse : à chaque instant, le résistor R transforme de l'énergie électrique en chaleur.
Cette énergie perdue ne revient jamais dans le circuit, donc les oscillations perdent en force.
Plus la résistance R est grande, plus cet amortissement est rapide et visible sur la courbe.
Si R est très petite, l'amortissement est lent, presque imperceptible sur quelques oscillations.
Regardons un exercice type bac sur ce régime amorti.
Un circuit RLC série a une résistance R égale à 50 ohms, une inductance L égale à 0,5 henry.
La capacité du condensateur est C égale à 2 microfarads, et la charge initiale vaut 8 microcoulombs.
On trace l'allure de q en fonction du temps, une sinusoïde amortie partant de 8 microcoulombs.
Voici la courbe obtenue, avec son amplitude qui diminue à chaque pseudo-période.
On appelle pseudo-période la durée entre deux maximums successifs de cette courbe amortie.
On place deux maximums successifs sur le graphe, pour mesurer cette pseudo-période T.
Le deuxième maximum apparaît un peu plus tard, avec une amplitude plus faible.
La distance entre ces deux instants sur l'axe des temps donne la pseudo-période T, en secondes.
On remarque que cette pseudo-période ressemble à la période propre du circuit sans résistance.
Retiens que les oscillations libres amorties perdent de l'amplitude à cause du résistor R.
La pseudo-période, elle, se mesure entre deux maximums successifs sur la courbe de charge.
Plus R est grand, plus l'amortissement est rapide, et plus les oscillations s'éteignent vite.
Qu'est-ce qui diminue progressivement dans des oscillations libres amorties ?
3. L'énergie totale et sa non conservation
Passons à l'énergie totale et sa non conservation.
L'énergie totale et sa non conservation, c'est-à-dire que l'énergie du circuit diminue avec le temps, elle ne reste pas constante.
Cette énergie totale, c'est la somme de l'énergie électrique du condensateur et l'énergie magnétique de la bobine.
Le premier terme est l'énergie stockée dans le condensateur, le second celle stockée dans la bobine.
On trace cette énergie totale E en fonction du temps, pour le circuit amorti.
La courbe décroît par paliers successifs, en escalier, jamais elle ne remonte.
Voici pourquoi l'énergie baisse sans cesse : le résistor R dissipe de l'énergie par effet Joule, à chaque instant.
Cette énergie dissipée se transforme en chaleur, et elle ne revient jamais dans le circuit.
Si R était nulle, l'énergie totale resterait constante, sans aucune perte au cours du temps.
Prenons un exercice type bac sur cette perte d'énergie.
Un condensateur de capacité C égale à 4 microfarads porte une charge initiale q zéro de 40 microcoulombs.
On calcule l'énergie initiale stockée dans le condensateur, avant tout échange avec la bobine.
On remplace : quarante microcoulombs au carré, divisé par deux fois quatre microfarads.
Le calcul donne une énergie initiale E zéro égale à 2 fois 10 puissance moins 4 joule.
Après quelques oscillations amorties, on mesure une énergie restante E un égale à 5 fois 10 puissance moins 5 joule.
L'énergie dissipée par effet Joule est la différence entre l'énergie initiale et l'énergie restante.
On calcule : 2 fois 10 puissance moins 4, moins 5 fois 10 puissance moins 5 joule.
Cette énergie dissipée a été transformée en chaleur par le résistor, pendant les oscillations.
Retiens que l'énergie totale du circuit RLC série n'est pas conservée, à cause du résistor.
Elle diminue sans cesse, car le résistor transforme continuellement l'énergie électrique en chaleur.
Pourquoi l'énergie totale du circuit RLC série diminue-t-elle au cours du temps ?
4. Oscillations libres non amorties
Passons aux oscillations libres non amorties.
Les oscillations libres non amorties, c'est-à-dire des oscillations dont l'amplitude reste constante indéfiniment, sans jamais diminuer.
Ce cas idéal correspond à un circuit LC, sans résistor, donc sans dissipation d'énergie.
On trace la charge q du condensateur en fonction du temps, dans ce circuit idéal.
La courbe est une sinusoïde parfaite, toujours la même amplitude, jamais elle ne s'écrase.
L'équation différentielle de ce circuit ne contient plus le terme en R, qui a disparu.
La solution est une fonction sinusoïdale, de charge maximale Q_m et de période propre T0.
La période propre T0 ne dépend que de l'inductance L et de la capacité C.
Voici pourquoi l'amplitude reste constante : sans résistor, aucune énergie ne part en chaleur.
Le condensateur et la bobine se renvoient l'énergie indéfiniment, comme un pendule sans frottement.
En réalité, ce cas est idéal, car un vrai résistor existe toujours dans un circuit.
Mais ce modèle reste utile pour calculer la période propre d'un circuit.
Travaillons un exercice type bac pour calculer cette période propre T0.
On considère un circuit LC, avec une bobine d'inductance L égale à 0,1 henry.
La capacité du condensateur vaut C égale à 10 microfarads.
On demande de calculer la période propre T0 de ce circuit, en secondes.
On remplace L par 0,1 henry et C par 10 fois 10 puissance moins 6 farad.
Le produit sous la racine vaut 10 puissance moins 6, donc la racine vaut 10 puissance moins 3.
Le calcul final donne une période propre T0 d'environ 6,3 fois 10 puissance moins 3 seconde.
Cette période propre est la durée d'une oscillation complète dans ce circuit idéal.
Si on avait un vrai résistor, cette période serait proche de la pseudo-période vue plus tôt.
Retiens que les oscillations libres non amorties gardent une amplitude constante, dans un circuit LC idéal.
La période propre T0 dépend uniquement de l'inductance L et de la capacité C.
Elle se calcule avec la formule T0 égale deux pi racine de L fois C.
De quelles grandeurs dépend la période propre T0 d'un circuit LC ?
5. Étude énergétique du cas non amorti
Passons à l'étude énergétique du cas non amorti.
Dans le circuit LC idéal, l'énergie totale est la somme de l'énergie du condensateur et de la bobine.
Cette énergie totale reste constante au cours du temps, car il n'y a pas de résistor.
On trace l'énergie totale E en fonction du temps, une droite horizontale.
La courbe reste plate, sans jamais descendre, contrairement au circuit RLC amorti.
Voici pourquoi cette énergie ne change pas : le condensateur et la bobine échangent l'énergie sans la perdre.
Quand l'énergie électrique du condensateur diminue, l'énergie magnétique de la bobine augmente d'autant.
Leur somme reste toujours la même, comme un vase communicant entre les deux énergies.
Quand le courant i est maximal, toute l'énergie est magnétique, dans la bobine.
Quand la charge q est maximale, toute l'énergie est électrique, dans le condensateur.
Travaillons un exercice type bac sur cette conservation d'énergie.
Un circuit LC a une capacité C égale à 2 microfarads et une charge maximale Q_m de 20 microcoulombs.
On calcule l'énergie totale E, en utilisant la charge maximale, qui donne toute l'énergie électrique.
On remplace : vingt microcoulombs au carré, divisé par deux fois deux microfarads.
Le calcul donne une énergie totale E égale à 1 fois 10 puissance moins 4 joule.
Cette énergie E reste la même à chaque instant, même quand q et i changent.
Quand le courant est maximal, cette même énergie se retrouve entièrement dans la bobine.
Retiens que l'énergie totale d'un circuit LC idéal reste toujours constante, sans résistor.
Elle se transfère sans cesse entre le condensateur et la bobine, sans jamais se perdre.
Entre quels deux éléments l'énergie se transfère-t-elle dans un circuit LC idéal ?
6. Exercice type bac
Terminons avec un exercice type bac, qui reprend toutes les notions du chapitre.
Un circuit RLC série comprend un condensateur de capacité C égale à 5 microfarads.
La bobine a une inductance L égale à 0,2 henry, et une résistance interne négligeable.
Le condensateur est chargé initialement sous une tension U_0 égale à 10 volts.
Première question : calcule la charge initiale q zéro du condensateur, avant le basculement.
On remplace : cinq microfarads fois dix volts.
Cela donne une charge initiale q zéro égale à 5 fois 10 puissance moins 5 coulomb.
Deuxième question : un circuit sans résistance oscille librement, sans jamais perdre d'amplitude.
Calcule la période propre T0, avec L égale à 0,2 henry et C égale à 5 microfarads.
Le produit sous la racine vaut 10 puissance moins 6, donc la racine vaut 10 puissance moins 3.
Troisième question : calcule l'énergie totale initiale du circuit, stockée dans le condensateur.
On remplace : 5 fois 10 puissance moins 5 coulomb au carré, divisé par 2 fois 5 microfarads.
Le calcul donne une énergie totale E zéro égale à 2,5 fois 10 puissance moins 4 joule.
Cette énergie reste constante, car le circuit est non amorti, sans résistance dans la bobine.
Maintenant, imaginons une petite résistance R réelle dans la bobine, comme dans un vrai circuit.
Quatrième question : décris comment évoluent l'amplitude et l'énergie totale dans ce cas réel.
L'amplitude des oscillations diminue progressivement, car le résistor dissipe de l'énergie par effet Joule.
L'énergie totale, elle, décroît au cours du temps, elle n'est plus constante comme dans le cas idéal.
La pseudo-période reste proche de la période propre T0, si la résistance R est petite.
Cet exercice résume tout le chapitre : circuit RLC série, amortissement, énergie et cas idéal.
Retiens la méthode : d'abord les données, puis les formules, puis le calcul avec les unités.
Vérifie toujours que chaque résultat porte son unité, en coulomb, en seconde ou en joule.
Dans ce circuit avec une petite résistance R, que devient l'énergie totale au cours du temps ?
Voilà, tout le chapitre des oscillations électriques libres est posé, du circuit RLC série au cas idéal.
Entraîne-toi maintenant sur les deux exercices, en vérifiant bien chaque unité à chaque étape.