Leçon de Nour
La bobine, le dipôle RL
Aujourd'hui, tout le chapitre « La bobine / le dipôle RL », en Sciences physiques, quatrième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Induction électromagnétique et loi de Lenz
Aujourd'hui, tout le chapitre « La bobine / le dipôle RL », en Sciences physiques, quatrième année, section Mathématiques.
On va construire ce chapitre pas à pas, de l'induction jusqu'à l'énergie stockée dans une bobine.
Commençons par l'induction électromagnétique.
C'est-à-dire qu'un courant peut apparaître dans un circuit sans aucune pile, juste par un effet magnétique.
Il suffit de faire varier le champ magnétique qui traverse le circuit.
Voici une bobine, c'est-à-dire un fil enroulé en plusieurs spires autour d'un axe.
On approche un aimant de cette bobine, et on observe un courant dans le circuit.
Ce courant qui apparaît sans pile s'appelle le courant induit.
Le phénomène entier, cette création de courant par un champ magnétique variable, c'est l'induction électromagnétique.
Autrement dit, ce qui compte, c'est la variation du flux magnétique à travers le circuit.
Le flux, c'est une grandeur qui mesure la quantité de champ magnétique qui traverse la surface du circuit.
Si l'aimant ne bouge pas, le flux reste constant, et il n'y a aucun courant induit.
Mais dès que l'aimant approche ou s'éloigne, le flux change, et un courant apparaît aussitôt.
Voici maintenant la question du sens de ce courant induit.
C'est la loi de Lenz qui répond à cette question.
C'est-à-dire que le courant induit s'oppose toujours à la cause qui lui donne naissance.
Si l'aimant s'approche, le flux augmente, et le courant induit crée un champ qui s'oppose à cette hausse.
Si l'aimant s'éloigne, le flux diminue, et le courant induit essaie de maintenir ce flux.
Voici pourquoi cette loi existe vraiment dans la nature.
Sans cette opposition, le courant induit amplifierait sa propre cause, et ce serait une énergie créée à partir de rien.
La loi de Lenz garantit que l'énergie électrique produite vient bien du travail mécanique fourni pour bouger l'aimant.
Regardons maintenant un exemple typique de bac sur cette situation.
On approche le pôle nord d'un aimant face à une bobine, relié à un galvanomètre.
Le flux magnétique à travers la bobine, créé par l'aimant, augmente progressivement.
D'après la loi de Lenz, le courant induit doit s'opposer à cette augmentation du flux.
Pour s'opposer, le courant induit crée un champ magnétique opposé à celui de l'aimant qui approche.
La face de la bobine la plus proche de l'aimant se comporte alors comme un pôle nord aussi.
Deux pôles nord se repoussent, donc la bobine repousse l'aimant qui approche.
Avec la règle de la main droite, on en déduit alors le sens précis du courant induit dans les spires.
Ce résultat illustre exactement la loi de Lenz appliquée à un cas concret.
Pour résumer, l'induction électromagnétique crée un courant par variation de flux magnétique.
La loi de Lenz donne le sens de ce courant induit : il s'oppose toujours à la variation qui le crée.
Ces deux idées sont la base de tout ce qu'on va voir sur la bobine.
Si on éloigne un aimant d'une bobine, le courant induit cherche-t-il à augmenter ou à maintenir le flux ?
2. Force électromotrice d'induction
Passons à la force électromotrice d'induction.
C'est-à-dire la tension qui apparaît aux bornes du circuit à cause de la variation du flux.
On la note e, et elle s'exprime en volts, V.
Cette f.é.m.
se calcule à partir de la vitesse de variation du flux magnétique.
Le flux phi s'exprime en weber, Wb, et le temps t en secondes, s.
Le signe moins dans cette formule traduit directement la loi de Lenz.
Voici pourquoi ce signe moins est essentiel dans cette loi.
Si le flux augmente, sa dérivée est positive, donc e doit être négative pour s'opposer.
Cette f.é.m.
négative pousse un courant induit qui crée un flux opposé à l'augmentation.
Si le flux diminue, la dérivée est négative, donc e devient positive, pour maintenir le flux.
Dans les deux cas, le courant induit s'oppose à la variation du flux, comme le dit la loi de Lenz.
Plus le flux varie vite, plus la f.é.m.
induite est grande en valeur absolue.
Regardons un exemple chiffré typique du bac.
Le flux à travers une bobine passe de 2 fois 10 puissance moins 3 weber à 8 fois 10 puissance moins 3 weber, en 0,2 seconde.
On calcule d'abord la variation du flux, delta phi, égale à phi 2 moins phi 1.
La f.é.m.
moyenne vaut moins delta phi sur delta t.
On remplace : moins 6 fois 10 puissance moins 3, divisé par 0,2.
Cela donne moins 3 fois 10 puissance moins 2 volt.
Le signe négatif confirme que le flux augmente, et que le courant induit s'y oppose.
Cette f.é.m.
induite est ce qui va créer le courant dans le circuit fermé.
Pour résumer, la f.é.m.
d'induction mesure la rapidité de variation du flux magnétique.
Son signe traduit toujours la loi de Lenz vue juste avant.
Cette notion va maintenant nous servir directement pour étudier la bobine elle-même.
Si le flux à travers un circuit double en deux fois moins de temps, que devient la f.é.m.
induite en valeur absolue ?
3. La bobine : f.é.m. d'auto-induction et tension à ses bornes
Passons maintenant à la bobine elle-même, parcourue par son propre courant.
Quand le courant dans une bobine varie, elle crée elle-même un flux magnétique variable à travers elle.
Ce flux variable produit alors une f.é.m.
dans la bobine elle-même, sans aimant extérieur cette fois.
Ce phénomène s'appelle l'auto-induction : la bobine s'induit elle-même une tension à cause de son propre courant variable.
Chaque bobine possède deux grandeurs qui la caractérisent.
L'inductance L, en henry, H, et la résistance interne r, en ohm, oméga.
La f.é.m.
d'auto-induction e vaut moins L fois la dérivée du courant i par rapport au temps.
Ici i est en ampère, A, t en secondes, s, et L en henry, H.
Voici pourquoi le signe moins apparaît encore une fois dans cette loi.
Si le courant augmente, la bobine s'oppose à cette augmentation par sa f.é.m.
induite.
C'est encore la loi de Lenz qui agit, mais appliquée au circuit lui-même.
Plus l'inductance L est grande, plus la bobine s'oppose fortement à toute variation du courant.
Regardons maintenant la tension aux bornes de la bobine, notée u.
Cette tension u tient compte à la fois de l'inductance L et de la résistance interne r.
Le premier terme, r fois i, c'est la tension due à la résistance du fil enroulé.
Le second terme, L fois la dérivée de i, vient de l'auto-induction.
Si le courant est constant, la dérivée de i est nulle, et il ne reste que r fois i.
Regardons un exemple de bac avec des valeurs numériques.
Une bobine a une inductance L égale à 0,5 henry et une résistance r égale à 10 ohms.
Le courant qui la traverse augmente de façon régulière, avec une dérivée de 4 ampères par seconde.
On calcule d'abord la f.é.m.
d'auto-induction, e égale moins L fois di sur dt.
Cela donne moins 2 volts pour la f.é.m.
d'auto-induction.
On calcule ensuite la tension u aux bornes de la bobine, avec la formule complète.
Cela fait 20 plus 2, soit 22 volts.
Cette tension est plus grande que r fois i seul, à cause de l'auto-induction qui s'ajoute.
Pour résumer, la bobine s'oppose à toute variation du courant grâce à son inductance L.
Sa tension combine un effet résistif, r fois i, et un effet inductif, L fois la dérivée du courant.
Ces deux lois vont maintenant nous permettre d'étudier le dipôle RL complet.
Dans la formule de la tension u, quel terme disparaît si le courant ne varie plus du tout ?
4. Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension
Passons maintenant à la réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension.
C'est-à-dire ce qui se passe quand on branche brusquement une tension constante sur un circuit avec bobine et résistor.
Voici le circuit : un générateur de tension E, un interrupteur, une résistance R et une bobine d'inductance L et de résistance interne r.
À l'instant t égale 0, on ferme l'interrupteur, c'est l'échelon de tension.
La loi d'additivité des tensions donne E égale R fois i, plus r fois i, plus L fois la dérivée de i.
C'est une équation différentielle du premier ordre, qui décrit l'évolution du courant i au cours du temps.
Voici pourquoi le courant ne peut pas sauter instantanément à sa valeur finale.
La bobine s'oppose à toute variation brusque du courant, à cause de son inductance L.
Donc juste après la fermeture, le courant part de zéro, et augmente progressivement.
La solution de cette équation est une exponentielle qui tend vers un courant maximal noté I zéro.
Ce courant final I zéro vaut E divisé par R plus r, quand le régime devient permanent.
La courbe part de zéro, puis monte de plus en plus lentement vers cette valeur I zéro.
Ce régime où le courant varie encore s'appelle le régime transitoire.
Une fois que le courant ne varie plus, on dit que le régime est permanent, ou établi.
Regardons maintenant un exemple chiffré typique du bac.
On ferme le circuit avec un générateur de 6 volts, une résistance R de 20 ohms, et r vaut 10 ohms.
On cherche le courant I zéro en régime permanent, une fois que le courant ne varie plus.
On remplace : 6 divisé par 20 plus 10, soit 6 divisé par 30.
Cela donne un courant final de 0,2 ampère.
En régime permanent, la dérivée de i est nulle, donc toute la tension L fois di sur dt disparaît.
Il ne reste alors que R plus r fois i, comme dans un circuit sans bobine.
C'est pour cela que le résultat ressemble à un simple circuit résistif à ce moment-là.
Pour résumer, à la fermeture, le courant part de zéro et monte progressivement vers I zéro.
Cette montée progressive, c'est exactement la réponse du dipôle RL à l'échelon de tension.
Elle traduit l'opposition de la bobine à toute variation brusque du courant électrique.
En régime permanent, que devient la dérivée du courant par rapport au temps ?
5. Constante de temps du dipôle RL
Passons maintenant à la constante de temps du dipôle RL.
C'est-à-dire la durée qui caractérise la rapidité avec laquelle le courant s'établit dans le circuit.
On la note tau, et elle s'exprime en secondes, s.
Pour un dipôle RL, tau vaut L divisé par R plus r.
Plus l'inductance L est grande, plus tau est grand, et plus le courant met de temps à s'établir.
Plus R plus r est grand, plus tau est petit, et plus le régime permanent arrive vite.
Voici pourquoi cette durée tau est utile pour lire la courbe du courant.
À l'instant t égale tau, le courant atteint environ 63 pour cent de sa valeur finale I zéro.
On reconnaît tau sur le graphique grâce à la tangente à l'origine de la courbe.
Cette tangente part de zéro et coupe l'asymptote horizontale exactement à l'instant t égale tau.
On considère qu'au bout de 5 fois tau, le régime permanent est pratiquement atteint.
Regardons maintenant un exemple chiffré typique du bac.
On reprend le circuit précédent, avec L égale 0,3 henry, R égale 20 ohms, et r égale 10 ohms.
On calcule tau, L divisé par R plus r.
Cela donne 0,3 divisé par 30, soit 0,01 seconde.
Le régime permanent est donc atteint au bout d'environ 5 fois tau, soit 0,05 seconde.
Cette durée très courte montre que le dipôle RL réagit vite quand R plus r est grand.
Pour résumer, tau mesure la rapidité d'établissement du courant dans le dipôle RL.
Elle se lit sur la courbe par la tangente à l'origine et par les 63 pour cent de I zéro.
Si on double la résistance totale R plus r, que devient la constante de temps tau ?
6. Energie emmagasinée dans une bobine
Terminons avec l'énergie emmagasinée dans une bobine.
C'est-à-dire l'énergie que la bobine stocke sous forme magnétique quand elle est traversée par un courant.
On la note E L, et elle s'exprime en joules, J.
Cette énergie dépend de l'inductance L et du courant i qui traverse la bobine à cet instant.
Ici L est en henry, H, i en ampères, A, et l'énergie résulte en joules, J.
Voici pourquoi cette énergie augmente avec le carré du courant.
Quand le courant double, l'énergie stockée est multipliée par quatre, pas seulement par deux.
Tant que le courant circule et ne varie plus, cette énergie reste stockée dans le champ magnétique de la bobine.
Si le courant s'annule, par exemple à l'ouverture du circuit, cette énergie est restituée ou dissipée.
C'est cette restitution brutale d'énergie qui explique parfois une étincelle à l'ouverture d'un interrupteur.
Regardons un exemple chiffré typique du bac, avec le circuit déjà étudié.
On reprend une bobine d'inductance L égale 0,3 henry, parcourue en régime permanent par un courant I zéro.
Ce courant final I zéro vaut 0,2 ampère, calculé plus tôt avec E sur R plus r.
On calcule l'énergie emmagasinée, un demi fois L fois I zéro au carré.
On remplace : un demi fois 0,3 fois 0,2 au carré.
0,2 au carré vaut 0,04, donc E L égale un demi fois 0,3 fois 0,04.
Cela donne une énergie emmagasinée de 6 fois 10 puissance moins 3 joule.
Cette petite valeur montre que la bobine stocke peu d'énergie pour un courant aussi faible.
Si le courant final avait été deux fois plus grand, l'énergie aurait été quatre fois plus grande.
Pour résumer, la bobine stocke une énergie magnétique proportionnelle au carré du courant qui la traverse.
Cette formule relie directement l'inductance L au courant i, pour donner l'énergie E L en joules.
Avec ce dernier point, tu as maintenant toutes les bases du dipôle RL et de la bobine.
Si le courant dans une bobine triple, par combien l'énergie emmagasinée est-elle multipliée ?
Voilà, tu connais maintenant tout le chapitre sur la bobine et le dipôle RL.
De l'induction électromagnétique jusqu'à l'énergie stockée, tu as toutes les formules clés en main.
Entraîne-toi avec ces deux exercices pour bien ancrer ces notions avant le bac.