Leçon de Nour
Limites et continuité
Aujourd'hui, tout le chapitre « Limites et continuité », en troisième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Limite finie en un réel · Limite en un réel a d'une fonction continue
Aujourd'hui, tout le chapitre « Limites et continuité », en troisième année, section Mathématiques.
On avance section par section, avec à chaque fois un exemple travaillé et une petite question pour toi.
On commence par la limite finie en un réel a.
Limite finie en a, ça veut dire que les valeurs de f(x) se rapprochent d'un nombre précis L.
Ça se produit quand x se rapproche de plus en plus du réel a, sans forcément l'atteindre.
On note ça ainsi : la limite de f(x) quand x tend vers a est égale à L.
Traçons une courbe pour bien voir ce que ça signifie.
Prenons une fonction f, avec une courbe qui passe tranquillement près du point a.
On place a sur l'axe des x, ici a égale 2.
La droite verticale en a monte jusqu'à la courbe, puis on lit la hauteur.
Cette hauteur, c'est justement L, la limite en a.
Voici pourquoi cette idée est naturelle : plus x s'approche de a, plus f(x) s'approche de L.
On peut s'approcher de a par la gauche ou par la droite, le résultat doit être le même.
Passons maintenant à la limite en a d'une fonction continue en a.
Continuité en a, tu l'as déjà vue : la courbe ne fait pas de saut au point a.
Autrement dit, la courbe passe sans interruption par le point d'abscisse a.
Quand f est continue en a, il y a un résultat très simple à retenir.
La limite de f(x) quand x tend vers a vaut simplement f(a).
Pas besoin de chercher ailleurs : il suffit de calculer l'image de a par f.
Prenons un exemple travaillé pour bien ancrer cette idée.
Soit f la fonction définie par f(x) égale x carré moins 3x plus 1.
On veut calculer la limite de f(x) quand x tend vers 2.
f est une fonction polynôme, donc elle est continue en tout réel, en particulier en 2.
Donc la limite cherchée est simplement f(2), l'image de 2 par f.
On calcule : 2 au carré moins 3 fois 2 plus 1.
Ça donne moins un.
On place ce résultat sur un petit graphique pour le visualiser.
La courbe de f passe par le point de coordonnées 2 et moins un.
Ce point, c'est exactement la valeur de la limite trouvée.
Retenons bien la méthode : pour une fonction continue en a, limite et image coïncident.
Il suffit de vérifier la continuité, puis de remplacer x par a dans l'expression.
Cette méthode marche pour toutes les fonctions usuelles que tu connais déjà, comme les polynômes.
Si g est continue en 3, que vaut la limite de g(x) quand x tend vers 3 ?
2. Calcul de limites
Passons maintenant au calcul de limites.
On connaît déjà les limites des fonctions usuelles, comme les puissances, la racine carrée, le sinus et le cosinus.
Ces fonctions sont continues partout où elles sont définies, donc leur limite en a vaut leur valeur en a.
Pour calculer une limite, on combine ces fonctions usuelles entre elles.
On additionne, on multiplie, on compose ces fonctions simples pour construire des fonctions plus compliquées.
Voici pourquoi le calcul reste simple dans la majorité des cas.
Tant que la fonction est continue au point a, on remplace juste x par a.
La difficulté apparaît seulement quand le remplacement direct donne une expression qui n'a pas de sens, comme zéro sur zéro.
Dans ce cas, il faut transformer l'expression avant de remplacer, par exemple en factorisant.
Prenons un exemple travaillé avec ce genre de situation.
Soit f la fonction définie par f(x) égale x carré moins 4, sur x moins 2.
On cherche la limite de f(x) quand x tend vers 2.
Si on remplace directement x par 2, le dénominateur s'annule : on ne peut pas faire ça.
On factorise le numérateur : x carré moins 4 égale x moins 2 fois x plus 2.
On simplifie alors par x moins 2, qui n'est pas nul tant que x est différent de 2.
Maintenant cette nouvelle expression est continue en 2, on peut remplacer directement.
On obtient 4 comme limite.
On retrouve ce résultat sur un graphique, avec un petit trou en x égale 2.
La courbe ressemble à la droite y égale x plus 2, sauf juste au-dessus de x égale 2.
Retenons la méthode : si le remplacement direct bloque, on factorise et on simplifie avant de remplacer.
Cette technique de factorisation fonctionne pour beaucoup de fractions qui posent ce problème en un point.
Comment calculer la limite en 3 de la fonction (x carré moins 9) sur (x moins 3) ?
3. Prolongement par continuité
Passons maintenant au prolongement par continuité.
Prolongement par continuité, ça veut dire qu'on complète une fonction non définie en a pour la rendre continue en a.
On a une fonction f, non définie en a, mais qui a une limite finie L en a.
On construit alors une nouvelle fonction g, égale à f partout, sauf en a.
Cette fonction g est continue en a, et on l'appelle le prolongement de f par continuité en a.
Voici pourquoi cette idée fonctionne : on bouche simplement le trou de la courbe au point a.
La courbe de f a un trou en a, celle de g n'en a plus.
Les deux courbes sont identiques partout ailleurs, seul le point en a change.
Prenons un exemple travaillé pour construire ce prolongement.
Soit f la fonction définie par f(x) égale x carré moins 1, sur x moins 1.
Cette fonction n'est pas définie en x égale 1, car le dénominateur s'annule.
On cherche d'abord la limite de f en 1, en factorisant le numérateur.
Après simplification, f(x) égale x plus 1, pour x différent de 1.
La limite de f en 1 vaut donc 1 plus 1, soit 2.
On définit alors g, le prolongement par continuité, égale à f partout, et g(1) égale 2.
Traçons la courbe pour bien voir le point rajouté.
La courbe est une droite, avec le point en x égale 1 maintenant bien présent.
Retenons la méthode : on calcule la limite en a, puis on pose g(a) égale à cette limite.
Ce prolongement transforme une fonction trouée en une fonction continue sur tout son nouvel ensemble.
Comment prolonger par continuité en 2 la fonction h(x) égale (x carré moins 4) sur (x moins 2) ?
4. Opérations sur les limites finies
Passons maintenant aux opérations sur les limites finies.
Opérations sur les limites finies, ça veut dire des règles pour calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient.
Si f tend vers L et g tend vers L prime en a, on connaît la limite de f plus g.
De même pour le produit : la limite du produit est le produit des limites.
Pour le quotient, c'est pareil, à condition que L prime ne soit pas nul.
Ces règles marchent aussi avec un multiple d'une fonction, ou avec une racine carrée.
Voici pourquoi ces règles sont utiles : elles évitent de refaire tout le raisonnement à chaque fois.
On calcule les limites des morceaux simples, puis on combine avec ces formules.
Attention : la règle du quotient ne marche plus si L prime vaut zéro.
Dans ce cas, il faut étudier la situation séparément, comme on l'a fait avec la factorisation.
Prenons un exemple travaillé qui combine plusieurs de ces règles.
On considère f(x) égale 3x plus 1, et g(x) égale x carré moins 2.
On veut la limite quand x tend vers 2 de f(x) fois g(x), plus 1 sur g(x).
f et g sont des polynômes, donc continues : on remplace x par 2 dans chacune.
Et g(2) égale 2 au carré moins 2, soit 2.
On applique la règle du produit : la limite de f(x) fois g(x) vaut 7 fois 2.
Puis la règle du quotient, puisque g(2) n'est pas nul : la limite de 1 sur g(x) vaut 1 sur 2.
On applique enfin la règle de la somme pour additionner les deux résultats.
On obtient 14,5 comme limite finale.
Retenons bien la méthode : on calcule chaque limite séparément, puis on combine avec les bonnes règles.
On vérifie toujours que le dénominateur ne tend pas vers zéro, avant d'utiliser la règle du quotient.
Ces opérations permettent de calculer des limites complexes à partir de limites simples déjà connues.
Si la limite de f en 1 vaut 5 et celle de g en 1 vaut 0, peut-on utiliser la règle du quotient pour f sur g ?
5. Limite et ordre
Passons maintenant à la limite et l'ordre.
On s'intéresse ici au signe de la limite d'une fonction de signe constant.
Ça veut dire que si f(x) reste toujours positive ou nulle près de a, sa limite L l'est aussi.
De même, si f(x) reste toujours négative ou nulle, sa limite est négative ou nulle aussi.
Attention, une inégalité stricte sur f ne donne pas forcément une inégalité stricte sur la limite.
Voici pourquoi : la limite peut toucher zéro, même si f(x) ne l'atteint jamais.
Traçons une courbe toujours positive, dont la limite en a touche zéro.
Voici la courbe de x carré, elle reste strictement positive partout, sauf en zéro.
En a égale zéro, la limite de x carré vaut zéro, pas strictement positive.
Prenons un exemple travaillé pour bien comprendre cette règle de signe.
Soit f la fonction définie par f(x) égale x carré plus 1, sur tout réel x.
On remarque d'abord que f(x) est strictement positive, pour tout x réel.
On cherche la limite de f(x) quand x tend vers 3.
f est un polynôme, donc continue en 3 : on remplace directement x par 3.
La limite vaut 10, qui est bien un nombre positif, cohérent avec le signe de f.
Retenons bien la règle : le signe constant de f se transmet à sa limite, mais au sens large.
Une limite peut valoir zéro, même si la fonction ne vaut jamais zéro autour de a.
Si f(x) est négative ou nulle près de a, que peut-on dire du signe de sa limite L ?
6. Limite à droite. Limite à gauche · Continuité à droite
On termine avec la limite à droite, la limite à gauche, et la continuité à droite.
Limite à droite en a, ça veut dire la limite de f(x) quand x se rapproche de a en restant plus grand que a.
Limite à gauche en a, c'est pareil, mais x reste plus petit que a.
La fonction a une limite en a seulement si ces deux limites existent et sont égales.
Voici pourquoi cette distinction compte : certaines courbes font un saut brutal au point a.
Traçons une fonction avec un saut, pour bien voir la différence entre les deux côtés.
À gauche de a égale 1, la courbe approche la hauteur 1.
À droite de a égale 1, la courbe part de la hauteur 3 et monte.
Les deux limites latérales sont différentes, 1 et 3 : f n'a pas de limite en a.
Passons à la continuité à droite en a, qui compare la limite à droite avec f(a).
f est continue à droite en a quand la limite à droite en a vaut f(a).
Prenons un exemple travaillé avec une fonction définie par morceaux.
Soit f définie par x plus 1 si x est inférieur à 2, et x carré moins 1 sinon.
On calcule la limite à gauche en 2 : on remplace x par 2 dans x plus 1.
On calcule la limite à droite en 2, avec l'autre morceau, x carré moins 1.
Les deux limites latérales valent 3 : f a bien une limite en 2, qui vaut 3.
On vérifie enfin que f(2) vaut aussi 3, avec la formule x carré moins 1.
Comme f(2) égale la limite en 2, f est continue en 2, à droite comme à gauche.
Retenons bien la méthode : pour une fonction par morceaux, on calcule les deux limites latérales séparément.
Si elles sont égales, cette valeur commune est la limite de f au point de raccord.
Si la limite à gauche en 1 vaut 2 et la limite à droite en 1 vaut 5, f a-t-elle une limite en 1 ?
On a parcouru tout le chapitre, de la limite finie en un point jusqu'à la continuité à droite.
Garde bien en tête la méthode : vérifier la continuité, puis factoriser quand le remplacement direct bloque.
Entraîne-toi avec les deux exercices proposés, ils ressemblent à ceux du bac.