Leçon de Nour
Limites et comportements asymptotiques
Aujourd'hui, tout le chapitre « Limites et comportements asymptotiques », en troisième année, section Mathématiques.
Ce que dit Nour
1. Limites infinies en +∞ · Limites infinies en −∞
Aujourd'hui, tout le chapitre « Limites et comportements asymptotiques », en troisième année, section Mathématiques.
On va construire ça petit à petit, avec des dessins et des exemples type bac.
Six parties, chacune avec sa définition, son exemple résolu, et une petite question pour vérifier.
Commençons par les limites infinies en plus l'infini et en moins l'infini.
Une limite infinie, c'est-à-dire que les valeurs d'une fonction deviennent de plus en plus grandes, sans jamais s'arrêter.
Quand x devient très très grand, on dit que x tend vers plus l'infini.
Si à ce moment-là f de x devient aussi grand qu'on veut, on écrit que la limite de f en plus l'infini vaut plus l'infini.
Traçons un exemple simple pour voir ça : la fonction f de x égale x au carré.
Regarde la courbe : quand x part vers la droite, la courbe monte de plus en plus haut.
Plus x grandit, plus x au carré grandit, sans aucune limite.
C'est exactement ça, une limite infinie en plus l'infini.
Maintenant, regardons ce qui se passe du côté gauche, quand x part vers moins l'infini.
x tend vers moins l'infini veut dire que x devient un nombre négatif, de plus en plus grand en valeur absolue.
Sur le dessin, la courbe monte aussi très haut quand x part vers la gauche.
Donc la limite de x au carré, quand x tend vers moins l'infini, vaut aussi plus l'infini.
Les deux limites infinies ne donnent pas forcément le même résultat selon la fonction.
Regardons maintenant une fonction qui descend, au lieu de monter.
Voici la fonction f de x égale moins x au cube.
Quand x tend vers plus l'infini, la courbe descend tout en bas, vers moins l'infini.
Et quand x tend vers moins l'infini, la courbe remonte tout en haut, vers plus l'infini.
Passons maintenant à un exercice complet, du type qu'on trouve au bac.
On considère la fonction f de x égale x au carré moins 2x plus 3, sur l'ensemble des réels.
On veut calculer la limite de f de x quand x tend vers plus l'infini.
Pour une fonction polynôme, on met en facteur le terme de plus haut degré.
Ici, le terme de plus haut degré est x au carré.
Quand x tend vers plus l'infini, deux sur x tend vers zéro, et trois sur x au carré tend vers zéro aussi.
Donc la parenthèse tend vers un, et x au carré tend vers plus l'infini.
Le produit d'un nombre qui tend vers plus l'infini, par un nombre qui tend vers un, tend vers plus l'infini.
On ferait exactement le même travail pour la limite en moins l'infini.
On mettrait x au carré en facteur, et on regarderait encore vers quoi tend la parenthèse.
Ici aussi, la parenthèse tend vers un, et x au carré tend vers plus l'infini.
Retiens bien cette méthode : pour un polynôme, on factorise toujours par le terme de plus haut degré.
C'est cette factorisation qui permet de lever l'indétermination et de trouver la limite.
Retiens aussi que la limite infinie décrit une courbe qui monte ou qui descend sans s'arrêter.
Quelle est la limite de x au cube quand x tend vers moins l'infini ?
2. Limites finies en +∞ ou en −∞ · Asymptotes horizontales
Passons maintenant aux limites finies en plus l'infini ou en moins l'infini.
Une limite finie, c'est-à-dire que les valeurs de f de x se rapprochent d'un nombre précis, sans jamais s'arrêter de grandir x.
Par exemple, la limite de f en plus l'infini peut valoir deux, au lieu de plus l'infini.
Regardons un exemple simple : la fonction f de x égale un sur x.
Quand x devient très grand, un sur x devient tout petit, proche de zéro.
Donc la limite de un sur x, quand x tend vers plus l'infini, vaut zéro.
Et quand x part vers moins l'infini, un sur x devient aussi tout petit, proche de zéro.
Ici apparaît une nouvelle notion très importante, les asymptotes.
Une asymptote, c'est-à-dire une droite dont la courbe se rapproche de plus en plus, sans jamais la toucher.
Quand la limite en plus ou moins l'infini est un nombre fini, la courbe approche une droite horizontale.
Cette droite horizontale s'appelle une asymptote horizontale.
Ici, la droite d'équation y égale zéro est asymptote horizontale à la courbe, en plus et en moins l'infini.
Regarde bien : la courbe s'approche de cette droite rouge, mais ne la touche jamais.
C'est exactement l'idée d'une asymptote horizontale.
Passons à un exercice complet, du type qu'on trouve au bac.
On considère la fonction f de x égale deux x plus un, sur x moins trois.
On veut calculer la limite de f de x quand x tend vers plus l'infini.
On factorise le numérateur et le dénominateur par x, le terme de plus haut degré.
Quand x tend vers plus l'infini, un sur x tend vers zéro, et trois sur x tend vers zéro aussi.
Donc la limite de f de x, quand x tend vers plus l'infini, vaut deux.
On ferait le même calcul en moins l'infini, et on trouverait encore deux.
Cela veut dire que la droite d'équation y égale deux est asymptote horizontale à la courbe de f.
Cette droite se trouve des deux côtés, à droite et à gauche du graphique.
Retiens bien cette méthode : on factorise par le terme de plus haut degré, en haut et en bas.
Cela permet de voir directement vers quel nombre tend le quotient.
Retiens aussi que si la limite en l'infini est un nombre fini, la courbe a une asymptote horizontale.
Quelle est l'asymptote horizontale de la fonction f de x égale trois sur x, en plus l'infini ?
3. Limites infinies en un réel · Asymptotes verticales
Passons maintenant aux limites infinies en un réel.
Ici, x ne tend plus vers l'infini, mais vers un nombre précis, par exemple vers trois.
On regarde alors si f de x devient infiniment grand, quand x se rapproche de ce nombre.
Prenons l'exemple de la fonction f de x égale un sur x moins trois.
Regarde ce qui se passe quand x s'approche de trois, par la droite.
La courbe monte de plus en plus haut, vers plus l'infini.
Quand x s'approche de trois, mais par la gauche, cette fois la courbe descend vers moins l'infini.
La valeur trois pose problème, car elle annule le dénominateur.
Quand la limite en un réel est infinie, la courbe approche une droite verticale.
Cette droite verticale s'appelle une asymptote verticale.
Ici, la droite d'équation x égale trois est asymptote verticale à la courbe.
La courbe se rapproche de cette droite rouge des deux côtés, sans jamais la toucher.
Passons à un exercice complet, du type qu'on trouve au bac.
On considère la fonction f de x égale x plus deux, sur x moins un.
On veut étudier la limite de f de x quand x tend vers un.
La valeur un annule le dénominateur, donc elle est interdite dans l'ensemble de définition.
Regardons d'abord quand x tend vers un, avec x plus grand que un.
Le numérateur x plus deux tend vers trois, qui est positif.
Le dénominateur x moins un tend vers zéro, mais reste positif, car x est plus grand que un.
Un nombre positif divisé par un nombre tout petit et positif donne un résultat très grand.
Avec le même raisonnement à gauche de un, le dénominateur devient négatif cette fois.
Donc la limite de f de x, quand x tend vers un par la gauche, vaut moins l'infini.
On en déduit que la droite d'équation x égale un est asymptote verticale à la courbe de f.
Retiens bien cette méthode : on regarde le signe du dénominateur, juste avant et juste après la valeur interdite.
C'est ce signe qui donne plus l'infini ou moins l'infini.
Retiens aussi qu'une valeur interdite dans le dénominateur donne souvent une asymptote verticale.
Quelle droite est asymptote verticale à la courbe de un sur x, à l'origine ?
4. Opérations sur les limites · Limites d'une fonction polynôme ou d'une fonction rationnelle
Passons maintenant aux opérations sur les limites.
On sait déjà calculer les limites des fonctions usuelles, c'est-à-dire les fonctions de base comme x au carré, un sur x, ou racine de x.
Les opérations sur les limites disent comment combiner ces limites, pour une somme, un produit, ou un quotient.
Pour une somme ou un produit, la règle est souvent simple : on additionne ou on multiplie les limites.
Mais certains cas posent problème, par exemple plus l'infini moins l'infini, ou zéro fois l'infini.
Ces cas s'appellent des formes indéterminées, car on ne peut rien conclure directement.
Pour les lever, on utilise la factorisation, comme on l'a déjà fait avec les polynômes.
C'est là qu'intervient la règle sur les polynômes et les fractions rationnelles.
Pour un polynôme, en plus ou moins l'infini, la limite est celle de son terme de plus haut degré.
Pour une fraction rationnelle, en plus ou moins l'infini, on garde seulement les termes de plus haut degré, en haut et en bas.
Ces deux règles évitent de refaire toute la factorisation à chaque fois.
Passons à un exercice complet, du type qu'on trouve au bac.
On considère la fonction f de x égale moins trois x au cube plus deux x, moins un.
On veut la limite de f de x quand x tend vers plus l'infini.
Le terme de plus haut degré est moins trois x au cube.
Quand x tend vers plus l'infini, x au cube tend vers plus l'infini, donc moins trois x au cube tend vers moins l'infini.
On passe maintenant à une fraction rationnelle, g de x égale deux x au carré moins un, sur x plus trois.
On veut la limite de g de x quand x tend vers plus l'infini.
On garde le terme de plus haut degré en haut, deux x au carré, et en bas, x.
On simplifie : deux x au carré sur x donne deux x.
Et deux x tend vers plus l'infini, quand x tend vers plus l'infini.
Retiens bien cette méthode : pour un polynôme, seul le terme de plus haut degré compte en l'infini.
Pour une fraction rationnelle, on garde les termes de plus haut degré en haut et en bas, puis on simplifie.
Cette règle règle directement les formes indéterminées du type infini sur infini.
Retiens aussi que les opérations usuelles suffisent, sauf pour les quatre formes indéterminées.
Quelle est la limite de deux x au carré moins x, quand x tend vers moins l'infini ?
5. Limites de √f
Passons maintenant aux limites de racine de f.
Quand f de x est positive, on peut étudier la limite de sa racine carrée.
La règle est simple : la limite de racine de f est la racine de la limite de f.
Si la limite de f vaut plus l'infini, alors la limite de racine de f vaut aussi plus l'infini.
Regardons un exemple simple : la fonction f de x égale racine de x au carré plus un.
Sous la racine, x au carré plus un tend vers plus l'infini, quand x tend vers plus l'infini.
Donc la racine de cette quantité tend aussi vers plus l'infini.
Attention : cette règle ne marche que si f de x reste positive ou nulle.
Passons à un exercice complet, du type qu'on trouve au bac.
On considère la fonction f de x égale racine de quatre x au carré moins trois x.
On veut la limite de f de x quand x tend vers plus l'infini.
On regarde d'abord la limite de ce qu'il y a sous la racine.
Quand x tend vers plus l'infini, trois sur x tend vers zéro, donc la parenthèse tend vers quatre.
Le contenu de la racine tend vers plus l'infini, qui est bien positif.
Donc la limite de la racine de cette quantité vaut aussi plus l'infini.
Retiens bien cette méthode : on calcule d'abord la limite de l'intérieur de la racine.
Ensuite seulement, on applique la racine carrée à cette limite.
Retiens aussi que cette règle demande toujours que la quantité sous la racine reste positive.
Quelle est la limite de racine de x au carré plus un, quand x tend vers moins l'infini ?
6. Asymptotes obliques
Terminons par les asymptotes obliques.
On a vu des asymptotes horizontales et verticales, qui sont des droites plates ou droites debout.
Une asymptote oblique, c'est une droite penchée, ni horizontale ni verticale, que la courbe approche en l'infini.
Pour la trouver, on regarde si f de x moins a x moins b tend vers zéro, en l'infini.
Cela se produit souvent quand f de x est une fraction, avec un numérateur de degré juste au-dessus du dénominateur.
Regardons un exemple simple : la fonction f de x égale x plus un sur x.
Ici, un sur x tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini.
Donc f de x se rapproche de la droite d'équation y égale x, qui est inclinée.
Cette droite y égale x est l'asymptote oblique de la courbe.
On rencontre aussi ce qu'on appelle des branches paraboliques, c'est-à-dire des courbes qui partent vers l'infini mais sans approcher aucune droite inclinée précise.
Passons à un exercice complet, du type qu'on trouve au bac.
On considère la fonction f de x égale x au carré plus un, sur x.
On veut montrer que la droite y égale x est asymptote oblique à la courbe de f.
On commence par écrire f de x autrement, en divisant chaque terme du numérateur par x.
On calcule maintenant f de x moins x, pour voir si cela tend vers zéro.
Quand x tend vers plus l'infini, un sur x tend vers zéro.
Cette limite nulle confirme que y égale x est bien asymptote oblique, en plus l'infini.
Le même calcul, en moins l'infini, donne encore une limite nulle.
Donc la droite y égale x est aussi asymptote oblique en moins l'infini.
Retiens bien cette méthode : on écrit f de x moins a x moins b, et on cherche sa limite.
Si cette limite vaut zéro, la droite y égale a x plus b est bien une asymptote oblique.
Retiens aussi que sans cette droite précise, la courbe peut avoir une branche parabolique, sans asymptote inclinée.
Quelle droite semble être asymptote oblique à la courbe de x plus deux sur x, en plus l'infini ?
Voilà, tout le chapitre des limites et des asymptotes est maintenant posé, avec ses méthodes.
Retiens surtout les deux réflexes : factoriser par le terme de plus haut degré, et calculer f de x moins la droite pour une asymptote oblique.
Entraîne-toi sur les deux exercices pour bien fixer ces méthodes avant le prochain chapitre.